Aufstellen von ganzrationaler Funktion 3. Grades

Question

hier meine Frage ich sitz schon seit 2 Tagen drüber und komm nicht drauf:

 

bestimme die Gleichung  der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph durch den Koordinatenursprung verläuft, die x-Achse bei x=6 berührt und bei x=4 eine Tangente hat, die zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten paralell ist.

Mein Ansatz bisher: bilden von linearen Gleichungen

 

P1 (0;0) Koordinatenursprung                                         a0³+b0²+0c+d   =0

P2 (6;0) berührt die x-Achse bei x=6                               a6³+b6²+c6+d   =0

f '(4) Anstieg 1                                                                      3a4²+2b4+c      =4

 

wie bekomm ich die 4. lineare Gleichung raus?

Und war der Ansatz bis hierher richtig?

Pleaz help

LG Hubertus

 

Comments

Dass der Graph die x-Achse bei  x = 6  berührt bedeutet zusätzlich  f'(6) = 0.

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Nein, warum sollte dort die Steigung Null sein, nur weil f(x) dort die x-Achse berührt?

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@Thilo87: 'Berühren' heisst 'horizontale Tangente'.

Du meinst 'schneiden'.

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Ach stimmt, da hast du natürlich Recht

Answer 1

Achtung:

f '(4) Anstieg 1                                                                      3a4^2+2b4+c      =1

f'(6) =0 heisst      zusätzlich                                              3a6^2 + 2b6 + c   = 0

Jetzt die 4 Gleichungen mit den 4 Unbekannten noch geschickt aufllösen.

Comments

Zur Kontrolle:

f(x) = -1/12*x³ + x² - 3x

Answer 2

"Bestimme die Gleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph durch den Koordinatenursprung verläuft, die x-Achse bei x=6 berührt und bei x=4 eine Tangente hat, die zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten parallel ist."

Lösungsweg über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a*x*(x-6)^2\)

\(f´(x)=a*[1*(x-6)^2+x*2*(x-6)*1]\)

\(f´(4)=a*[(4-6)^2+4*2*(4-6)=-12]\)

\(-12a=1→a=-\frac{1}{12}\)

\(f(x)=-\frac{1}{12}*x*(x-6)^2\)