Funktion 3. Grades durch Informationen aufstellen P(1/1) Maximium und Q(3/y) Wendepunkt

Question

Eine Funktion 3.Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Sie hat in P(1/1) ein Maximum und in       Q (3/y) einen Wendepunkt.
Ziel ist es die Variablen herauszufinden und dessen Werte zu bestimmen. Bitte um eure Hilfe, danke :)

Comments

Alternative zum Warten auf die Auflösung von Mathecoach.
Maschinelle Hilfe der Step by step Lösung von WolframAlpha in Anspruch nehmen. Man kann sich gratis 3 solche Lösungswege/Tag anzeigen lassen und lernt dabei auch noch Englisch. Natürlich sind manuelle Lösungen meist eleganter als maschinell erzeugte. Aber Wolframalpha macht eigentlich keine Flüchtigkeitsfehler. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d+%3D+0+%2C+a+%2B+b+%2B+c+%2B+d+%3D+1+%2C+3a+%2B+2b+%2B+c+%3D+0+%2C+18a+%2B+2b+%3D+0

Answer 1

Eine Funktion 3.Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

geht durch den Ursprung des Koordinatensystems.

f(0) = 0
d = 0

Sie hat in P(1/1) ein Maximum

f(1) = 1
a + b + c + d = 1

f'(1) = 0
3a + 2b + c = 0

und in Q (3/y) einen Wendepunkt.

f''(3) = 0
18a + 2b = 0

Ziel ist es die Variablen herauszufinden und dessen Werte zu bestimmen. Bitte um eure Hilfe, danke :)

Wir lösen das Gleichungssystem

d = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0

Die Lösung ist: a = 1/7, b = -9/7, c = 15/7 und d= 0

Damit lautet unsere Funktionsgleichung: f(x) = 1/7·x^3 - 9/7·x^2 + 15/7·x

Comments

Wie genau erfolgt der Schritt von ax^3+bx^2+cx+d auf a+b+c+d=1 ?

Und im Nachhinein auf 18a+2b=0 ?

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f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

f(1) = 1
f(1) = a*1³ + b*1² + c*1 + d = 1
a + b + c + d = 1

f''(3) = 0
f''(3) = 6a*3 + 2b = 0
18a + 2b = 0

Kannst du das so nachvollziehen? Die Gleichungen entstehen eigentlich unmittelbar aus den Bedingungen.

Die Bedingung f(1) = 1 sagt dir du sollst in die Funktionsgleichung 1 für x einsetzen und das dann gleich 1 setzen.

Die Bedingung f''(3) = 0 sagt dir du sollst in die zweite Ableitung 3 für x einsetzen und das dann gleich 0 setzen.

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Super Hilfe bis jetzt!

Verstehe nur nicht den letzten Schritt, wenn man die 4 Bedingungen auflöst, um die Werte zu erhalten. Wäre mir eine super Hilfe, wenn das veranschaulicht würde. :-)

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d = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0

Weil d = 0 ist kann ich es in alle anderen Gleichungen auch einsetzen

a + b + c = 1
3a + 2b + c = 0
18a + 2b = 0

Ich subtrahiere 1 mal die erste Gleichung von der 2. und behalte die 3. Gleichung bei.

3a + 2b + c - (a + b + c) = 0 - 1

2a + b = -1
18a + 2b = 0

Jetzt subrtahiere ich 2 mal die erste gleichung von der zweiten.

18a + 2b - 2*(2a + b) = 0 - 2*(-1)
14a = 2
a = 1/7

Das setzt mal jetzt in eine Gleichung mit 2 Unbekannten ein

2a + b = -1
2*1/7 + b = -1
b = -1 - 2*1/7 = -9/7

Jetzt setzt man a und b in eine Gleichung mit drei unbekannten ein.

a + b + c = 1
1/7 + (-9/7) + c = 1
c = 1 - 1/7 + 9/7 = 15/7

Damit hat man jetzt alle Lösungen a = 1/7, b = -9/7, c = 15/7 und d= 0

Answer 2

"Eine Funktion 3.Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Sie hat in P(1|1) ein Maximum und in     Q (3|y) einen Wendepunkt."

Ich verschiebe den Graphen um eine Einheit nach unten:

P(1|1)→P´(1|0) Maximum   U(0|0)→ U´(0|-1)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N\)→\(-a*N=-1\)→\(a=\frac{1}{N} \)

\(f(x)=\frac{1}{N} *[(x-1)^2*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{N} *[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]\)

\(f´´(x)=\frac{1}{N} *[2*(x-N)+(2x-2)+2*(x-1)]\)

\(f´´(3)=\frac{1}{N} *[2*(3-N)+(2*3-2)+2*(3-1)]\)

\(\frac{1}{N} *[2*(3-N)+(2*3-2)+2*(3-1)]=0\)  →  \(N=7\)   \(a=\frac{1}{7} \)

\(f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)\)

\(p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)+1\)