Steckbriefaufgaben: Ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph den Wendepunkt W(0|1) besitzt usw.?

Question

Aufgabe:

a) Ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph den Wendepunkt W(0|1) besitzt und den Hochpunkt H(1|2) hat.

b) Punktsymmetrische ganzrationale Funktion f mit dem Grad 5 hat einen Wendepunkt bei W(1|15) und schneidet die x-Achse bei x=-2. Geben Sie den Funktionsterm von f an.

c) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat im Wendepunkt P1(1|y) die Steigung -2 und im Punkt P2(0|5) einen Extrempunkt

Problem/Ansatz:

Ich verstehe gar nicht, wie ich das mit den Wendepunkten, Hochpunkten usw. machen soll. Eine Funktion 3. Grades kann ich z.B. noch aufstellen f(x)= a•x^3 + b•x^2 + c•x + d und dann weiß ich nicht weiter.

Answer 1

c) f(x)= a•x3 + b•x² + c•x + d

Punkte P₁(1|y) und P₂(0|5) einsetzen ergibt:

(1) y=a+b+c+d

(2) 5=d

Erste Ableitung f '(x)=3ax²+2bx+c. Punkt P₂(0|5) einen Extrempunkt ergibt

(3) c=0

Zweite Ableitung f ''(x)=6ax+2b. Wendepunkt P₁(1|y) ergibt

(4) 0=6a+2b

In P₁(1|y) die Steigung -2 ergibt

(5) -2=3a+2b+c

Das sind 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Das System kannst du lösen.