Aloha :)
$$f(x)=x^3-3x^2-x+3$$$$f'(x)=3x^2-6x-1$$$$f''(x)=6x-6$$$$f'''(x)=6$$
Die zweite Ableitung wird für \(x=1\) zu Null. An dieser Stelle ist die dritte Ableitung ungleich Null. Also hat die Funktion einen Wendepunkt bei \(x=1\). Die Tangente an die Kurve bei \(x=1\) hat die Gleichung:$$t_1(x)=f(1)-f'(1)\cdot(x-1)=0-4(x-1)=-4x+4$$
Zum Zeichnen der ersten Ableitung kannst du diese umformen:$$f'(x)=3x^2-6x-1=3\left(x^2-2x-\frac{1}{3}\right)=3\left(x^2-2x+\underbrace{1-1}_{=0}-\frac{1}{3}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=3\left(\underbrace{x^2-2x+1}_{=(x-1)^2}\underbrace{-1-\frac{1}{3}}_{-4/3}\right)=3\left((x-1)^2-\frac{4}{3}\right)=3(x-1)^2-4$$
Die Parabel der ersten Ableitung ist also um \(1\) nach rechts und um \(4\) nach unten verschoben. Sie ist nach oben geöffnet und mit dem Faktor \(3\) skaliert:
~plot~ 3x^2-6x-1 ; [[-1|3|-5|5]] ~plot~
