Kubische Funktion aus 4 Punkten aufstellen: P (1 / 1), Q (-1 / 0), R (2 / 3), S (-2 / -5)

Question

 

möchte eine kubische Funktionsgleichung aus 4 Punkten aufstellen:

P (1 / 1)       Q (-1 / 0)       R (2 / 3)       S (-2 / -5)

Könntet ihr mir bitte beim Lösungsweg behilflich sein, vervollständigen, erläutern?

Mein Ansatz  wäre so:

Vier Gleichungen in der Form ax³  +  bx²  +  cx +  d   aufstellen und die jeweiligen Punkte einsetzen.

Schauen, was ich "eliminieren" kann.

Ist es richtig,  insgesamt 7 Gleichungen aufzustellen?

Wo setze ich dann a,  b,  c  und  d  ein ?

Answer 1

P (1 / 1)       Q (-1 / 0)       R (2 / 3)       S (-2 / -5)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(1) = 1
a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 1 (Das habe ich jetzt nur mal für die erste Gleichung exemplarisch aufgeschrieben.)
a + b + c + d = 1

f(-1) = 0
-a + b - c + d = 0

f(2) = 3
8a + 4b + 2c + d = 3

f(-2) = -5
-8a + 4b - 2c + d = -5

Das lineare Gleichungssystem liefert mit dem Gauss-Verfahren die Lösung a = 0.5, b = -0.5, c = 0 und d = 1

Damit lautet die Funktion f(x) = 0.5x^3 - 0.5x^2 + 1

PS: Wie du dein Gleichungssystem lösen kannt erklärt dir auch Wolframalpha in einer Schritt für Schritt Lösung.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%2Bb%2Bc%2Bd%3D1%2C-a%2Bb-c%2Bd%3D0%2C8a%2B4b%2B2c%2Bd%3D3%2C-8a%2B4b-2c%2Bd%3D-5

Answer 2

Hi,

wieso willst Du denn 7 Gleichungen? Du hast 4 Unbekannte brauchst also auch 4 Gleichungen:

f(1)=1

f(-1)=0

f(2)=3

f(-2)=-5

 

So wie Du es jetzt schon sagtest, in die allgemeine Form einsetzen:

a + b + c + d = 1

-a + b - c + d = 0

8a + 4b + 2c + d = 3

-8a + 4b - 2c + d = -5

 

Das nun lösen:

a=0,5   b=-0,5   c=0    d=1

 

Die kubische Funktion lautet also:

y=0,5x^3-0,5x^2+1

 

Grüße

Comments

Dankeschön für die Antwort.

7 Gleichungen hab ich mir deshalb gedacht, weil sich durch das Eliminieren jeweils neue Gleichungen ergeben ?!

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Ok. Also man stellt 4 Gleichungen auf. Im ersten Schritt werden aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, drei Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also 3 neue Gleichungen.

Dann werden aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten im nächsten Schritt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Also wieder 2 neue Gleichungen.

Im letzten Schritt werden dann aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten eine Gleichung mit einer Unbekannten. Also noch eine neue Gleichung.

:-)

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Nochmals zum Gaußschen Eliminationsverfahren, das wir mit 4 Gleichungen starten: 

I. a + b + c + d = 1

II. -a + b - c + d = 0

Diese beiden Gleichungen addieren ergibt: 

2b + 2d = 1

 

III. 8a + 4b + 2c + d = 3

IV. -8a + 4b - 2c + d = -5

Diese beiden Gleichungen addieren ergibt: 

8b + 2d = -2

 

8b + 2d = -2           minus

2b + 2d = 1            ergibt

6b = -3, also b = -0,5

 

Das können wir einsetzen in 8b + 2d = -2:

-4 + 2d = -2

Also 2d = 2 und d = 1

 

Setzen wir diese Werte in die Gleichungen III. und I. ein: 

8a - 2 + 2c + 1 = 3, also 8a + 2c = 4

a - 0,5 + c + 1 = 1, also a + c = 0,5, also 8a + 8c = 4

8a + 8c = 4  minus

8a + 2c = 4 ergibt

6c = 0, also c = 0

Also 8a = 4 => a = 0,5

 

Aber Du brauchtest nur die 4 Gleichungen I. bis IV., um sie z.B. mit einem Taschenrechner zu lösen, was natürlich wesentlich flotter geht :-)

Answer 3

Bekanntlich braucht man für eine Funktion n-ten Grades n + 1 Informationen, die Du ja hast. 

Also: 

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(1) = 1 = a + b + c + d

f(-1) = 0 = -a +b - c + d

f(2) = 3 = 8a + 4b + 2c + d

f(-2) = -5 = -8a + 4b - 2c + d

Das kann man jetzt entweder mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen oder in einen guten Taschenrechner (Simultane Lineare Gleichungen) eingeben :-)

Es ergibt sich

a = 0,5

b = -0,5

c = 0

d = 1

 

Die Funktion lautet also:

f(x) = 0,5x^3 - 0,5x^2 +1