Ganzrationale Funktion 3. Grades | Gleichung aufstellen

Question

Ich hoffe , das mir jemand helfen kann. Komme schon eine ganze Weile an einer Aufgabe nicht weiter. Hier mal die genaue Aufgabenstellung:

Der Zu- und Ablauf eines Wasserauffangbehälters lässt sich für t∈[0;12] annähernd durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades beschreiben. Zum Zeitpunkt t=0 enthält das Becken 300m³ Wasser. Nach 12 Stunden ist es leer. Nach 4 Stunden hat der Wasserstand seinen höchsten Wert erreicht. Er liegt bei 500m³.
Aufgabe:  Geben sie die Funktionsgleichung an.


Über eine Erklärung würde ich mich wirklich freuen. :)

Comments

Die Funktion beschreibst du erstmal allgemein mit:

f(t)=ax^3+bx^2+cx+d

Jetzt hast du im Text 4 Informationen versteckt, zu welchen Zeitpunkt t du welchen Funktionswert f(t) bekommst. Diese 4 Informationen setzt du in jeweils 4 mal die obige Gleichung ein und erhältst 4 Gleichungen, mit denen du die 4 unbekannten Variablen a,b,c und d nach einem Verfahren zum Auflösen von linearen Gleichungssystemen bestimmen kannst. Alles klar?

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@koffi123 Gute, sinnvolle Hilfestellung. Passt manchem sogen. "Helfer" hier aber leider nicht.

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Die Frage hatte vor ein paar Tagen ihren neunten Geburtstag...

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(0) = 300 --> d = 300

f(12) = 0 --> 1728·a + 144·b + 12·c + d = 0

f(4) = 500 --> 64·a + 16·b + 4·c + d = 500

f'(4) = 0 --> 48·a + 8·b + c = 0

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten: a = 25/64 ∧ b = - 125/8 ∧ c = 425/4 ∧ d = 300

f(x) = 25/64·x^3 - 125/8·x^2 + 425/4·x + 300

Comments

wieso ist bei f´(4) 48a ?

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f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

Kannst du einfach mal die Ableitung bilden und dann für x 4 einsetzen und den Term vereinfachen? Was bekommst du dann heraus und warum?