Quadratische und ganzrationale Funktionen durch drei Punkte

Question

Ich brauche eure Hilfe bei folgenden Aufgaben:

"Bestimmen Sie eine Gleichung einer quadratischen Funktion, deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft.

a) A(1/3), B(-1/2), C(3/2)

b) A(1/1), B(2/3), C(3/7)"

und

"Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Funktionsgleichung.

a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte A(1/-3), B(2/-7), C(3/-7) und D(4/3).

b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T(1/-1) einen Tiefpunkt und in H(-1/3) einen Hochpunkt."

Wir haben das Thema in der Schule gerade angefangen und ich komme damit noch nicht so ganz klar... Denke immer, ich hätte das richtige raus, aber irgendwie klappt es nie so richtig.

Deswegen würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen würde. Danke schon einmal!

Answer 1

a)  f(x) = a x² + b x + c

f(1) =  3  ->  a + b + c = 3      [1]

f(-1) = 2 ->  a  - b + c = 2       [2]

f(3) =  2 -> 9a + 3b + c = 2    [3]

[1] - [2]  ergibt b

Einsetzen -> Gleichungssystem mit 2 Unbekannten ...

b) analog ergibt GLS mit 3 Unbekannten

a2)  f(x) = a x³ + b x² + c x + d

analog zu oben ergibt GLS mit 4 Unbekannten

b2)  

f(x) wie b)

f '(x) = 3a x² + b x

Bedingungen:

f(1) = -1

f ' (1) = 0

f(-1) = 3 

f ' (-1) = 0

Comments

Danke erst einmal für die Hilfe!

Leider habe ich aber noch nicht verstanden, wie ich bei der zweiten Aufgabe mit den ganzrationalen Funktionen dritten Grades vorgehen muss, irgendwie scheine ich da immer einen Fehler zu machen... Könntest du mir das noch einmal genauer in kleineren Schritten erklären? Das wäre super!

Answer 2

a) A(1/3), B(-1/2), C(3/2)

Ansatz   f(x) = a*x^2 + b*x + c  dann einsetzen

3 = a + b + c

2 = a -b  + c

2 = 9a + 3b + c

Gleichungssystem lösen gibt

f(x) = -1/4 x^2  + 1/2 x + 11/4

mit b genauso.

Comments

Dazu habe ich noch eine Frage: Wenn ich jetzt 3 = a + b +c mit 2 = a - b +c subtrahiere, komme ich auf b = 1, aber das ist ja falsch... Wo liegt mein Fehler? Wie kommst du auf b = 0,5?

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3 = a + b +c mit 2 = a - b +c subtrahiere, komme ich auf b = 1,

3 = a + b +c   |                      

 2 = a - b +c   |    subtrah. gibt

1 = 0 + 2b + 0 !!!!!!!!!!