Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Tiefpunkt T(1|-2) durch A(0|-1) und B (2|1) verläuft.

Question

a) bestimme die gleichung einer ganzrationalen funktion dirtten grades, deren graph in t (1|-2) einen tiefpunkt besitzt und durch die punkte a (0|-1) und B (2|1) verläuft.

b) bestimme die gleichung einer ganzrationalen funktion dritten grades, deren graph in w (1|-1) einen wendepunkt hat und durch die punkte a (0|1) und b (3|1) verläuft.

c) bestimme die gleichung einer ganzrationalen funktion vierten grades, deren graph in t (0|1) einen tiefpunkt besitzt und durch die punkte a (-1|4), b (1|2) und c (2|13) verläuft.

Comments

Das sind sogenannte Steckbriefaufgaben. Was bereitet dir daran Schwierigkeiten?

Das Aufstellen der Bedingungen? Das Aufstellen der Gleichungen/Gleichungssystem? Das Lösen der Gleichungen?

a) bestimme die gleichung einer ganzrationalen funktion dirtten grades, deren graph in t (1|-2) einen tiefpunkt besitzt und durch die punkte a (0|-1) und B (2|1) verläuft.

Bedingungen

f(1) = -2
f'(1) = 0 (Tierfpunkt daher ist die Ableitung null)
f(0) = -1
f(2) = 1

Gleichungssystem

a + b + c + d = -2
3a + 2b + c = 0
d = -1
8a + 4b + 2c + d = 1

Lösung

a = 1, b = -1, c = -1, d = -1

f(x) = x^3 - x^2 - x - 1

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wie hast du die einzelnen variablen gelöst??

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Das macht man mit dem Gauss Verfahren. Wo hängst du denn fest?

Answer 1

Wir brauchen für Funktionen n-ten Grades immer n + 1 Informationen. 

Zunächst stellt man eine "Dummy-Funktion" auf und ermittelt deren Ableitungen: 

 

a)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a

 

Graph geht durch (1|-2):

f(1) = -2, also f(1) = a + b + c + d = -2

Hat dort einen Tiefpunkt, also 1. Ableitung = 0:

f'(1) = 3a + 2b + c = 0

Geht durch (0|-1):

f(0) = -1, also f(0) = d = -1

Geht durch (2|1):

f(2) = 1 = 8a + 4b + 2c + d = 1

Daraus ergibt sich: 

a = 1

b = -1

c = -1

d = -1

Die Gleichung lautet also

f(x) = x^3 - x^2 - x - 1

 

b)

Graph geht durch (1|-1):

f(1) = a + b + c + d = -1

Hat dort einen Wendepunkt, also ist die 2. Ableitung = 0: 

f''(1) = 6a + 2b = 0

Geht durch (0|1):

f(0) = 1 = d

Geht durch (3|1):

f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1

a = 1

b = -3

c = 0

d = 1

f(x) = x^3 - 3x^2 +1

 

c)

Funktion 4. Grades, also

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

 

Geht durch (0|1): 

f(0) = e = 1

Hat dort Tiefpunkt, also 1. Ableitung = 0:

f'(0) = d = 0

Geht durch (-1|4):

f(-1) = a - b + c - d + e = 4

Geht durch (1|2):

f(1) = a + b + c + d + e = 2

Geht durch (2|13):

f(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 13

a = 1

b = -1

c = 1

d = 0

e = 1

f(x) = x^4 - x^3 + x^2 +1

Comments

Das habe ich ja alles gemacht, aber ich weiß nicht wie man a, b, c und d rausbekommen. Sie haben hier die Ergebnisse zwar aufgeschrieben, aber nicht den rechenweghenweise

Answer 2

a) Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph in T (1|-2) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte A(0|-1) und B (2|1) verläuft.

Ich verschiebe den Graph um 2 Einheiten nach oben:

T (1|-2)  → T´ (1|0)   Hier ist nun eine doppelte Nullstelle.

f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)

A(0|-1)→ A´(0|1)

f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N

-a*N=1   → a=-1/N

f(x)=-1/N*(x-1)^2*(x-N)

B (2|1) →B´(2|3)

f(2)=-1/N*(2-1)^2*(2-N)=1/N*(N-2)

1/N*(N-2)=3

N=-1

a=1

f(x)=(x-1)^2*(x+1)

Nun um 2 Einheiten nach unten:

p(x)=(x-1)^2*(x+1)-2

Comments

Ich muss einige meiner bisherigen Aussagen über dich revidieren.

Das, was du tust ist summa summarum nicht so übel und für alle eine win-win-Situation.

Mit dem Beantworten von Fragen, die den Fragesteller sein einer Dekade nicht mehr interessieren, schadest du keinem. Du hast damit deine Spielwiese gefunden und hältst dich zum Ausgleich aus dem aktuellen Tagesgeschäft zurück.