Wie kann ich mit der Scheitel-und pq-Formel die Höhe und Länge der Brücke bestimmen?

Question

Gegeben ist die  Parabelgleichung y = -1/200x²+x-20 und nun soll ich herausfinden wie hoch die Brücke ist und wie lang die Straße auf der Brücke ist, ich hoffe ihr könnt mir helfen   

Answer 1

Der Graph von y = -1/200 x^2 + x - 20 sieht so aus:

Wenn du annimmst, dass die Strasse auf der x-Achse verläuft und dann über einen Brückenbogen geführt wird,

ist die Brücke in ihrem Maximum (Scheitelpunkt) an der Stelle x=100  30 Einheiten hoch.

Mit der pq-Formel kannst du Brückenbeginn und -ende berechnen.

Wenn du in der Formel die Wurzel weglässt, bekommst du gerade ohne Wurzeln auszurechnen die Mitte. x = 100.

Dann x=100 einsetzen.

y = -1/200 100^2 + 100 - 20 = -50 + 100 -20 = 30

Nun kommst du bestimmt selbst zu allen gefragten Werten.

Answer 2

Hi,

 

Für die Länge der Straße brauchen wir die Nullstellen. Denn an der x-Achse wird wohl die Straße sein und die Länge zwischen den beiden Nullstellen wird wohl der Länge der Straße entsprechen. Um die pq-Formel aber anwenden zu können müssen wir die Gleichung f(x)=-1/200x²+x-20=0 erst mal passend zurechtstutzen. Denn es sollte Dir bekannt sein, dass der Vorfaktor von x² 1 sein muss! Multiplizieren wir also mit -200:

x²-200x+4000=0

p=-200, q=4000

Einsetzen in die pq-Formel und wir erhalten die gerundeten Werte x₁=22,54  und x₂=177,46.

Die Länge der Straße ist die Differenz -> x₂-x₁=154,92m.

 

Für die Höhe suchen wir uns am besten den Scheitelpunkt. Dies funktioniert mittels der quadratischen Ergänzung:

-1/200x²+x-20=0         |*(-200)
x²-200x+4000=0         |Binom erkennen, der die Form (x-100)²=x²-200x+10000 hat. -> +10000-10000 anfügen.
x²-200x+10000-10000+4000=0
(x-100)²-6000=0        | Wir hatten vorher mit -200 multipliziert. Da müssen wir wieder dividieren.
-1/200(x-100)²+30=0

Unser Scheitelpunkt liegt also bei S(100|30) und die Brücke hat demnach eine Höhe von 30m.

Dir ist klar, dass wir wieder durch -200 dividieren müssen? Bei der pq-Formel und der Nullstellenbestimmungen ist ein Faktor egal -> a*0=0.  Nicht so aber ein Scheitelpunkt. Die Höhe hängt natürlich vom Faktor ab. Den sollten wir also nicht falsch wählen ;).

Comments

danke für die Hilfe :) ich habe aber noch eine Verständnisfrage, denn wenn ich mit Hilfe der Scheitelpunktfor den Scheitelpunkt errechnen will bekomme ich (200/30) raus und nicht (100/30)
so rechne ich das : x=b:2xa also 1:(-1/200)=-200

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Da stellt sich mir die Fragen von wo aus, Du auf diese Werte kommst.

Kommst Du ebenfalls auf f(x)=-1/200(x-100)²+30 ?

Daraus solltest Du das meinige Ergebnis ablesen können -> S(100|30) ;).

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weiß ich nicht ^^ wo ich jetzt nur noch Probleme habe ist bei diesem Part x²-200x+10000-10000+4000=0 den verstehe ich nicht so ganz, weil wenn ich 10000-10000 rechen ist doch am Ende wider x²-200x+4000 wäre schön wenn du mir diesen teil noch einmal erklären könntest 

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Das ist die sogenannte quadratische Ergänzung.
Du suchst nach einem Binom wie wir das gemacht haben und ergänzt so, dass der Binom vervollständigt wird. Dabei darfst Du die Gleichung aber nich ändern. Deswegen addieren wir eine 0 hinzu: 0=10000-10000. Das ändert ja nix ;). 5=5+0=5+10000-10000=5+0=5

Ist das nun klar geworden? ;)
Der Rest ist auch klar? Sonst frage gerne nach.

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ja, ist klar geworden
ich habe immer gedacht das das dann null ist aber es ist aber ist es ha nicht sondern
 -10000-4000= -6000

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Nun es ist schon 0. Die 10000-10000. Nur haben wir die einen 10000 in den Binom mit aufgenommen und die anderen 10000 mit den vorher schon dastehenden 4000 verrechnet ;).

(P.S.:-10000-4000=-14000^^)

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mein Fehler ^^
aber häää, 10000-10000+4000=-4000 oder sind die ersten 10000 nicht relevant ?
oder was passiert mit den ?
ich komm mot gerade voll dumm vor, dass ich das nicht checke ^^

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Ich zeigs Dir nochmals ;).

Wir haben bisher: x²-200x+4000=0

Nun schauen wir uns nur die ersten beiden Summanden an und finden den passenden Binom:

 

x²-200x+4000=0         |Binom erkennen, der die Form (x-100)²=x²-200x+10000 hat.

 

Wir haben erkannt, dass der Summand 10000 gute Dienste leisten würde. Deshalb addieren wir ihn und ziehen ihn sofort wieder ab. Wir wollen die Gleichung ja nicht ändern. Es ergibt sich:
x²-200x+10000-10000+4000=0   |Binom nun umschreiben
(x-100)²-10000+4000=0                |Die beiden Summanden noch miteinander verrechnen:
(x-100)²-6000=0

 

Nun verstanden? ;)

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ja, hat ein bisschen gedauert, aber vielen dank :D

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Freut mich, wenns nun klick gemacht hat :).

Grüße