Summennotation/ Summenzeichen

Question

Hi,

ich habe hier einige aufgaben, indem ich die summen in verschiedenen arten schreiben soll. nur bei den etwas schwierigeren aufgaben bekomme ich manchmal probleme einen term, oder eine funktion aufzustellen.
wie geht man da am besten vor und wie kann man sich da herantasten ? und wie errechnet man den endwert ?

5+9+13 = ∑ Endwert=105 i=0 5+4i

30+42+56+72= ∑ Endwert 100 i=5 i(i+1)

3+15+35+63= ∑ Endwert=100 i=1 (2i-1)(2i+1)

wäre nett wenn mir das jemand ausführlicher erklären könnte.

Comments

Wäre die nächste Zahl 65?

Answer 1

Achtung: für Zahlenfolgen mit endlichen Gliedern gibt es UNENDLICH viele Bildungs-Algorithmen, wenn keine Randbedingungen angegeben sind!!  

so kann man mit n Stützstellen immer ein Interpolationspolynom (n-1). Grades erstellen!!

http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html    

Ergibt mit y[i]: 26,37,50

hier für Dich: 26+x*10+pow(x,2)  also 26,37,50,65, 82,...

Man kann auch Polynome 3. , 4. ... n. Grades damit basteln und kann so beliebig fortsetzen!!

Weiterhin gibt es über 300 Funktionen!!! Und Algorithmen mit Nachkommastellen von irrationalen Zahlen...

oder n² + floor(n/4) = 26, 37, 50, 66, 83, 102, 123,...

Ich könnte alle 20 min eine weitere basteln...

Bei etwa 80% aller Reihenentwicklungen ist aber ein k! unter dem Bruchstrich!

Also merke: man braucht genaue Randbedingungen wie: 

- ob es eine Reihenentwicklung ist

- wenn Ja, ob Taylor- oder andere Reihe ist

- verhalten gegen Grenzwert (asymptotisch...)

- gebildet aus welcher Quelle...

- Primzahlen enthalten?

- Abhängigkeiten

So wie es jedoch hier bei dieser Frage aussieht, will der Aufgabensteller nur Polynome als Randbedingung. Das macht es einfach:

Lese nach bei https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Wenn Dir die Formeln von Newton oder  Lagrang zu kompliziert, gibt es auch den Algorithmus " lineares Gleichungssystem": man kennt das Polynom (bei n Stützstellen Grad n-1) und hat  n Gleichungen und n unbekannte Variablen -> umstellen und alle Variablen ausrechnen Beispiel 3 Stützstellen: f(x) = a * x² + b * x + c  Stützstelle 1 ist f1(x1) (auf der Seite  Mittelwerte.html  ist x1 = x[i] immer mit 0 vordefiniert)

f1 = a * x1² + b * x1 +c
f2 = a * x2² + b * x2 +c

f3 = a * x3² + b * x3 +c

bei Deinem 1. Beispiel ist 5+9+13 mit i ab 0 also

x1=0 x2=1 x3=2

f1=5 f2=9  f3=13

5 = a * 0² + b * 0 +c  -> also c = 5  usw.

Comments

super danke, habs verstanden. muss man nur noch in einem term zusammenfassen.

Answer 2

Die Summanden links haben bei euch offensichtlich einen linearen oder einen quadratischen Zusammenhang. Entweder du siehst den Zusammenhang, wenn du scharf hinsiehst, oder du rechnest ihn aus.

Dabei kannst du vorgehen, wie bei Steckbriefaufgaben.

5+9+13 = ∑ Endwert=105 i=0 5+4i

30+42+56+72= ∑ Endwert 100 i=5 i(i+1)

3+15+35+63= ∑ Endwert=100 i=1 (2i-1)(2i+1)

5+4 = 9

9+4 = 13         linearer Zusammenhang

f(i) = a + 4i. noch das a bestimmen, indem zu z.B. i = 0 f(i) = 5 verlangst.

f(i) = 5 + 4i

30+12 = 42

42 + 14 = 56

56 + 16 = 72        | Die Differenzen nehmen linear zu. Daher quadratische Funktion ansetzen.

f(i) = ai^2 + bi + c

f(0) = 30 ---> c = 30

f(1) = 42 --> 42 = a*1 + b*1 + 30     (I)

f(2) = 56 ---> 56 = 4a + 2b + 30   (II)

aus (I) und (II) noch a und b bestimmen.

Die Summe geht dann von i=0 bis i=3.

c ) ist wieder quadratisch von i abhängig.

Anmerkung: Wähle besser etwas anderes als i für den Index (Bsp. k), damit es später nicht mit der imaginären Einheit in Konflikt gerät.

Comments

Ich sehe gerade, dass i offenbar bis zum Endwert laufen soll. Daher fehlen links die Punkte.

5+9+13+ ..... = ∑ Endwert=105 i=0 5+4i

30+42+56+72 + .... = ∑ Endwert 100 i=5 i(i+1)

3+15+35+63+ ......= ∑ Endwert=100 i=1 (2i-1)(2i+1)

5+9+13+ .....+ 425= ∑ Endwert=105 i=0 5+4i

30+42+56+72 + .... + 10100= ∑ Endwert 100 i=5 i(i+1)

3+15+35+63+ ......+39'999 = ∑ Endwert=100 i=1 (2i-1)(2i+1)

Wenn du noch wissen möchtest, was der letzte Summand ist: Setze für i den Endwert ein und rechne

a) 5 + 4*105 = 425

b) 100*101 = 10100

c) (200-1)(200+1) = 39'999

---

erstmal danke für die antwort/antworten, aber ich verstehe das leider nicht so richtig.

wieso kann man hier die p,q formel anwenden ?

und ich kann diese rechnung nicht ganz nachvollziehen:

a² + bi + c

f(0) = 30 ---> c = 30

---

Ich habe nichts von der pq-Formel geschrieben. Benutze die in der Regel gar nicht.

Ich habe nur geschrieben, dass einmal ein linearer Zusammenhang und zweimal ein quadratischer besteht. Der Ansatz sind daher 'Geradengleichung'  und 'Parabelgleichung'.

Answer 3

$$ \sum_{i=0}^{105} \, 5+4i  = (5+4 \cdot 0 )+(5+4 \cdot 1)+(5+4\cdot 2)+ \cdots+ (5+4 \cdot 103 )+(5+4 \cdot 104)+(5+4\cdot 105)$$