Wertemenge berechnen? Funktion

Question

Bei der funktion:

f(x) = e^{WURZEL(lnx)}+1

\(f\left(x\right)=\text{e}^{\sqrt{ \text{ln}{\left(x\right)}}-1} \)

Wieso ist der Wf: (e^-1, unendlich)? Ich komme auf: (0, unendlich)

D. h. die Umwehrfunktion kann doch auch denn Wert x>0 annehmen und e-1 ist ja erst bei 0,3.

Answer 1

\(f\left(x\right)=\text{e}^{\sqrt{ \text{ln}{\left(x\right)}}-1} \)

Der Wertebereich von f ist (e^{-1}, ∞).

Comments

Wieso e^-1 und nicht 0?

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Der kleinste Wert, den die Wurzel liefert, ist 0. Der kleinste Expoxnent ist daher -1. Der kleinste Wert von f also e^-1. Somit muss ich mich ein wenig korrigieren: Der Wertebereich von f ist [e^-1, ∞). Wie kommst Du auf 0 als untere Schranke?

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Aso ich ermittle zu erst die Umkehrfunktion und bestimme die Defintitionsmenge von f^-1 welche die Wf der f ist.
Die Umkehrfunktion habe ich berechnet : y= e^{ln(x)+1}^2
Und hier kann ich doch auch für x>0 einsetzen oder stimmt dies nicht?

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Das stimmt schon, aber Du musst beachten, dass der Wertebereich von f der Definitionsbereich der Umkehrfunktion von f sein muss und zwar unabhängig davon, ob der Funktionsterm der Umkehrfunktion ggf. noch für andere Zahlen, die nicht im Wertebereich von f liegen, definiert sein könnte.

Betrachte dazu als einfaches Beispiel die Funktion sqrt(x) und ihre Umkehrfunktion!

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Wenn ich y = Wurzelx nehme ist die DF: x(grösser gleich) 0; die Umkehrfunktion ist : y= x^2 . Aber wieso ist df von f nicht die wf von f^-1 und umgekehrt???

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Du hast eine falsche Vorstellung vom Begriff der Umkehrfunktion! Der Wertebereich einer umkehrbaren Funktion f IST der Definitionsbereich ihrer Umkehrfunktion! Das darfst Du nicht verwechseln mit dem möglicherweise anders beschaffenen maximalen Definitionsbereich des Funktionsterms der Umkehrfunktion!

Answer 2

Wertebereich ln ( x )   = -∞ .. ∞  | davon einsetzbar in die Wurzel 0 .. ∞
Wertebereich √ ln ( x )  = 0 .. ∞
Wertebereich √ ln ( x )  - 1 = -1 .. ∞
Wertebereich e hoch [ √ ln ( x ) -1 ] = e^{-1} .. e^{∞}
= e^{-1} .. ∞ = 1 / e  ..  ∞