Wurzel im Kopf berechnen: Wurzel aus 420

Question

Ich würde gerne wissen, wie ich die Wurzel aus 420 selbst - ohne Taschenrechner - im Kopf berechnen kann.

Gibt es hier irgendeinen Trick??

Answer 1

Du kannst höchstens die ungefähre Größe abschätzen, indem du die sogenannte Taylorentwicklung der Wurzelfunktion ausnutzt. Die Taylorentwicklung ist ein mächtiges Werkzeug der Analysis, dessen Grundlagen du aber eigentlich gar nicht unbedingt kennen musst. Was du wissen musst, ist folgendes:
 

Stell dir vor, du suchst die Wurzel einer Zahl z. z liegt relativ nah an einer dir bekannten Quadratzahl, nennen wir sie a. Genau genommen gilt z-a = x und es gilt |x|<|a|.

Dann gilt:

√z ≈ √a + x/(2√a)

Genau genommen ist die tatsächliche Wurzel von z ein kleines bisschen kleiner.

Für dein Beispiel: Wir wissen: √400 = 20 also wählen wir a=400 und x=20.

√420 ≈ √400 + 20/(2*√400) = 20 + 20/40 = 20,5

 

Die Probe zeigt: 20,5*20,5 = 420,25 liegt also tatsächlich sehr nah am gesuchten Wert.

Je nach Größe von x kann diese Abweichung aber auch erheblich größer werden, da kann man nichts gegen machen. Im Kopf kann man kaum deutlich weiter rechnen, wenn man kein Genie ist.

Answer 2

Im Kopf geht da eigentlich nicht viel. Wenn man schätzen will, kann man sich die Quadratzahlen bis 1000 merken. Zudem weisst du, dass 100 eine Quadratzahl ist. Deshalb kannst du schätzen, dass die Wurzel aus 420=4*100+20 ungefähr 2*10 ist.

Früher lernte man in der Schule noch schriftliches Wurzelziehen. Dazu brauchts die Quadratzahlen bis 100.

Dann funktoiniert das ähnlich wie schriftliches Dividieren. Allerdings macht man aus der Ziffern 2er-Gruppen.

Wenn du also einen Notizblock und einen Bleistift dabei hast, könntest du auch Wurzeln ziehen:

http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm

zeigt, wie's geht.

Answer 3

Hierfür eignet sich das Heron-Verfahren, das schon seit mehr als 2000 Jahren bekannt ist.

Es nähert sich der Lösung durch Iteration an (Iteration = wiederholte Anwendung desselben Rechenverfahrens). Siehe Grafik:

Wie du siehst, haben wir in nur 3 Rechenschritten (allgemeine Formel rechts oben) den Wurzelwert auf 8 Stellen nach dem Komma genau angenähert: √420 ≈ 20,49390153

Du kannst dir weitere Wurzeln berechnen mit dem Matheprogramm zum Heron-Verfahren.

Answer 4

Stell dir vor :               Alle Quadratzahlen bis 10. Betrachte nur die Einerstelle. Da gibt es

1^2=1                            welche die gibt es nur einmal und manche sind doppelt vertreten.

2^2=4                            Nehmen wir jetzt die Quadratzahl 4489. Siehst du die Einerstelle, die

3^2=9                            stimmt mit der Einerstelle von 3^2 und 7^2 überein. 3 und 7 kommen

4^2=16                          also für die Einerstelle inBetracht. Jetzt streichst du die letzen

5^2=25                          Stellen und schaust welche Quadratzahl von 1-10 kommt der

6^2=36                           44 am nächsten. Es ist die 36.Also ist auf der Zehnerstelle eine 6.

7^2=49                           Die 6 wird nun mit der nächsten Zahl eine 7 multipliziert und

8^2=64                           du erhältst 42. Die 44 ist größer als die 42 also nimmst

9^2=81                           du für dieEinerstelle die größere Zahl 7.  Die gesuchte

10^2=100                        Zahl ist 67

Beispiel: 5329              Einerstelle 3 oder 7                                      53  ⇒ 49 passt also 7  →7x8=56    53 ist kleiner als 56. Also für die Zehnerstell 7 für die Einerstelle 3.

Es schaut immer alles schwieriger aus als es ist und mit etwas Übung hast du in

3 Sekiunden die Lösung. Viel Spaß.

Geht so ähnlich mit Kubikzahlen.