Bruch x^5/√(x) ableiten: Weg ohne Quotientenregel?

Question

Ich soll den Bruch ableiten. Mit Quotientenregel komme ich auf 4x^{7/2}. Stimmt das?

Ließe sich der Ausdruck nicht auch zuerst umformen und vereinfachen mittels Potenzgesetzen und erst dann ableiten, wie ich dies nachstehend versucht habe? So komme ich allerdings auf ein anderes Resultat. Wo liegt mein Fehler?

\( \frac{x^{5}}{\sqrt{x}}=\frac{x^{5}}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{5} \cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{5+\left(-\frac{1}{2}\right)}=x^{\frac{10}{2}-\frac{1}{2}}=x^{\frac{9}{2}} \\ ( x^{\frac{9}{2}})' = (\frac{9x^{\frac{7}{2}}}{2} ) \)

Answer 1

Hi, das oben aufgeschriebene Ergebnis ist korrekt.
9/2x^{7/2} = 4,5*x^{7/2} ist die gesuchte Ableitung.

Bei der Quotientenregel ist Dir irgendwo ein 0,5 abhanden gekommen ;).

Grüße

Answer 2

Hi,

so würde ich das machen :) also ganz normal umschreiben wie du es gemacht hast und dann einfach mit der Potenzregel

$$f(x)= \frac { x^5 }{ \sqrt { x } } = x^5\cdot { x }^{  }{  }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }= { x }^{ \frac { 9 }{ 2 } } $$
$$ f'(x)= \frac { 9 }{ 2 }{ x }^{ \frac { 7 }{ 2 } }$$

Answer 3

Hi, es geht auch mit der Kettenregel:
$$ f\left(x\right) = \frac { x^5 }{ \sqrt { x } } = \frac { \left(\sqrt{x}\right)^{10} }{ \sqrt { x } } = \left(\sqrt{x}\right)^{9} $$ $$ f'\left(x\right) = 9\left(\sqrt{x}\right)^{8} \cdot \frac { 1 }{ 2\sqrt{x} } = \frac { 9 }{ 2 } \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{7}. $$

(Es würde auch mit der Produktregel gehen!)