Beweisen Sie: exp(x) = 1 + x + o(x) sowie sin(x) = x - x^3/3! + o(x^3). Grenzwert berechnen.

Question

(a) Beweisen Sie: \( \exp (x)=1+x+o(x) \) für \( x \rightarrow 0 \).

(b) Beweisen Sie: \( \sin (x)=x-\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right) \) für \( x \rightarrow 0 \).

(c) Berechnen Sie: \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2}(x)}{1-e^{\left(x^{2}\right)}} \).

(d) Berechnen Sie: \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin (x)}\right) \).

Hinweis: o(x) nennt sich 'klein o' und bedeutet, dass o(x) langsamer wächst als x. Mehr und Genaueres dazu hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole

Siehe auch https://www.mathelounge.de/193611/beweisen-sie-folgende-aussage-exp-x-1-x-o-x-fur-x-0

Answer 1

bei c)  ->  einmal de l'Hospital und du hast den Grenzwert → -1

bei d) -> zweimal de l'Hospital und du hast den Grenzwert → 0