f(x)= (1-lnx)^2 / (2x) max/min?

Question

Ich sollte bestimmen können ob die obige Funktion ein Maximum oder Minimum hat und wo sie steigend bzw. sinkend ist. Ich komme im Moment nicht weiter, bitte daher um Hilfe.

Zuerst habe ich die Funktion   f(x)= (1-lnx)² / 2x abgeleitet:

$$ f'(x)=\frac { 2*(1-\ln { x } )*2x*\frac { -1 }{ x } -\quad 2*(1-\ln { x)^{ 2 } }  }{ 4x^{ 2 } } $$

Habe ich richtig abgeleitet? Das 2x * -1/x kann man ja direkt kürzen und nur -2 schreiben.

Für die Steigung/ Senkung muss ich die Funktion 0 setzten, ich kann aber das x hier nicht auf eine Seite bringen. Wie mache ich das? Gibt es eventuell eine "einfachere" Möglichkeit, um die Punkte zu finden, an der die Funktion steigend bzw. sinkend ist?

Ausserdem bin ich mir nicht sicher wie ich die 2 Ableitung machen soll, um das Max/Min herauszufinden?

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Deine Ableitung kannst du auch hier kontrollieren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+f%28x%29%3D+%281-lnx%29%5E2+%2F+%282x%29+

Allerdings erst nach einer Vereinfachung.

Lass dir dort die alternate forms anzeigen und versuche auf eine von denen zu vereinfachen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%28%28-3%2Blog%28x%29%29+%28-1%2Blog%28x%29%29%29%2F%282+x%5E2%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

Wolframalpha schreibt übrigens log, wenn es ln meint.

Answer 1

Zunächst einmal. Die erste obere Zeile ist
aus Versehen in den Scan gekommen.

Ansonsten ist das Ergebnis geprüft.

mfg Georg

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Die 2.Ableitung würde ich mir aufgrund der vielen Arbeit
ersparen.

Hier ein Hinweis wie die Monotonie/Extrempunkte
bestimmt werden können.

a = 1 - ln (x)
b = -4 - 2 * ( 1 - ln (x ) )

Monotonie > 0
( a > 0 ) und ( b > 0  )
sowie
( a < 0 ) und ( b < 0 )

Bin gern bei Bedarf weiterhin behilflich.

---

Vielen Dank für den Scan und deine Hilfe!

Answer 2

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 und der Nenner nicht 0 ist.

Löse daher:

-4 (1-ln(x)) - 2(1-ln(x))^2 = 0

(1-ln(x)) ( - 4 - 2(1-ln(x)) = 0

(1-ln(x)) ( -6 + 2ln(x)) = 0

1. Lösung: 1 = ln(x) → e^1 =e =  x₁

2. Lösung: 6 = 2ln(x) , ---> 3 = ln(x) ---> e^3 = x₂

Nun kannst du auch über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung argumentieren und brauchst nicht die 2. Ableitung zu berechnen. Das ist hier sicher einfacher.

Vor einem Max ist die Ableitung pos, nachher neg.

Bei einem Minimum umgekehrt.

Wenn beidseits + oder beidseites - , war das nur ein Terrassenpunkt.

Betrachte dazu die fettgeschriebene linke Seite der 3. Rechenzeile.

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Vielen Dank für deine Hilfe und die Links!