Komplexe Möbius Transformation

Question

Gegeben ist die Möbius-Transformation

\( w=f(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \text { mit } z=x+i y \text { und } w=u+i v \)

Für \( f \) sei bekannt: \( f(i)=1, f(0)=1+i \quad, f(-1-i)=0 \)

a) Berechnen Sie die Koeffizienten \( b, c, d \) in Abhängigkeit von \( a \neq 0 \) und stellen Sie die mit \( a \) gekürzte Funktionsgleichung auf.

b) Bestimmen Sie anschließend das Bild der Ortskurve \( z(t)=-\frac{1}{2}+i t, t \in \mathbb{R} \), unter der Abbildung \( f \). Geben Sie die Bildkurve in \( (u, v) \)-Koordinaten an.

c) Berechnen Sie die Funktionsgleichung \( z=f^{-1}(w) \) der Umkehrfunktion.

Answer 1

z = (az + b)/ (cz + d)

Setze die gegebenen Grössen ein

1 = (ai + b) / ( ci + d)        (I)

1 + i = b / d                   (II)

0 = (a(-1-i) + b)/(c(-1-i) + d)            (III)

Wenn du nun noch keine Eigenschaften von Möbiustransformationen kennst, rechnest du mit diesen Angaben b, c und d aus. a als Variable darf noch auftreten.

Rechnung nun ohne Gewähr:

Bsp. aus (III) folgt.

a(-1-i) + b = 0

b = (1+i)a

Damit in (II)

1+i = (1+i)a/d

1 = a/d

d = a

Mit beidem in (I)

1 = (ai + (1+i)a) / ( ci + a)       |*(ci + a)

ci + a = ai + a + ia

ci = 2ai

c = 2a

==> f(z) = (az + (1+i)a) / (2az + a)

Man kann hier üblrigens a rauskürzen

f(z) = (z + (1+i)) / (2z + 1)

Kontrolliere mal meine Rechnung bis hier hin und probiere dann b) und c)

Mit Hilfe von Theorie geht's zu Beginn vielleicht schneller. https://de.wikipedia.org/wiki/Möbiustransformation#Bestimmung_einer_Transformation_durch_drei_Punkte

etwas mehr.