Matrix berechnen Endomorphismus, Basis

Question

Sei $$ \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9  \end{pmatrix} $$

Wählen Sie eine Basis x₁, x₂, x₃ ∈ ℚ³ so, dass  in den Basisvektoren kein

einziger Eintrag verschwindet. Berechnen Sie die Matrix B ∈ Mat₃ (ℚ)

zum Endomorphismus A : ℚ³ → ℚ³, x ↦ Ax bezüglich zur gewählten Basis x₁, x₂, x₃ ∈ ℚ³

Wie soll ich das machen? Also ich könnte einen Lösungsansatz gebrauchen...

Answer 1

Vermutlich kennst du die Formel vom Basiswechsel:
Ist M die Matrix des Masiswechsels von der Stadardbasis zu einer
anderen, dann ist  M^{-1} * A * M die Matrix des Endomorphismus
bezüglich dieser neuen Basis.
Die Basis kannst du ja frei wählen, etwa die Spalten der Matrix
        1     1     1
M = 1     1     -1
        1    -1     1
Dann ist M^{-1} =
     0        0,5         0,5
    0,5        0          -0,5
    0,5     -0,5         0
also die Matrix des Endomorphism. bezgl der neuen Basis
M^{-1} * A * M
19,5       4,5          6,5
-9            -3             -3
-4,5        -1,5           -1,5