Beweisen, dass Ableitung von f:ℝ → ℝ, x ↦ x^2 sin(1/x) für x≠ 0; x ↦ 0 für x = 0 an der Stelle x0=0 nicht stetig ist.

Question

f : ℝ → ℝ,   x ↦ { x²  sin(1/x),  x≠ 0 
                             0                      x = 0

beweisen dass f´ in x0=0 nicht stetig ist 

Comments

Betrachte erst mal:

lim_(x->0+)  (x²  sin(1/x) )'  

EDIT: Habe gerade in deiner Fragestellung den Ableitungsstrich gesehen. Du musst somit erst mal ableiten.

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ich glaube ich muss das irgendwie mit dem epsilon delta kriterium zeigen

Leider weiss ich gar nicht wie daran gehen soll

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Betrachte die bearbeitete Version meiner Bemerkung.

Als Erstes solltest du mal die Funktion ableiten. Ich hoffe, dass ihr schon Ableitungsregeln habt und die nicht mehr herleiten müsst.

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abgeleitet hab ich

ich habe versucht das irgendwie in epsilon und delta umzuformen komme aber gar nicht weiter

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Ja, man kann die Aufgabe mit dem Epsilon-Delta-Kriterium lösen.

Answer 1

1. Ableitung ist übrigens f'(x) = -cos(1/x)+2 x sin(1/x) für x≠0

Nun Grenzwert für x gegen 0 ansehen.

Comments

Ist damit dann die Unstetigkeit an der Stelle \( x_0 = 0 \) gezeigt?

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Mister: Gemäss Frage ist zu zeigen, dass f ' in x0=0 nicht stetig ist.

Da der oben angefügte Grenzwert mE gar nicht existiert, kann die Ableitung nicht stetig sein in x0=0.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28-cos%281%2Fx%29%2B2+x+sin%281%2Fx%29%29+

Wähle z.B. xk:= 1/(2kπ), k Element N.

Dann ist f ' (xk) = -cos(2kπ)+2 *2kπ sin(2kπ) = -1 + 0 = -1

Wähle dann xk:= 1/(2kπ + π), k Element N.

Dann ist f ' (xk) = -cos(2kπ + π)+2 *(2kπ + π) sin(2kπ + π) = 1 + 0 = 1

Somit hast du schon 2 Nullfolgen mit unterschiedlichem "Grenzwert" bei der Ableitung. Der existiert also nicht.

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Fortsetzung und weitere Teilaufgaben hier:

https://www.mathelounge.de/191264/gegebene-funktion-differenzierbar-beweisen-graphen-zeichnen

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Lu, das ist schon wieder ein Rekursionsaufruf ohne Abbruchbedingung.

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Mister: Habe gerade den Link korrigiert und nun ausprobiert. Führt derzeit tatsächlich dort hin, wo ich will.

Vielleicht kannst du ja mit einer schlagenden Antwort dem Fragesteller mal aus der Patsche helfen. Der kommt sonst immer wieder.

Guten Rutsch dann ins 2015!