Wie vereinfache ich folgenden Term? ((-4/3)y+100)^{0,4})*y^{0,6} Extremstelle?

Question

Ich möchte den nachfolgenden Term vereinfachen. Ich habe leider keine Ahnung wie das gehen soll?

((-4/3)y+100)^0,4)*y^0,6

Comments

Was ist denn das Ziel? Oder war die Aufgabenstellung "Vereinfache"?

Da unterschiedliche Basis und unterschiedliche Potenz vorliege, dürfte dies nicht ganz so einfach sein?!

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Ziel ist eine Funktion auf Extrema unter Nebenbedingungen zu untersuchen.
f(x,y)=x^0,4*y^0,6
Nebenbedingung: x= - (4/3)y +100

Nebenbedingung in Funktion eingesetzt ergibt demnach: ((-4/3)y+100)^0,4)*y^0,6
Das müsste dann so vereinfacht werden, dass ich die erste Ableitung aus der Funktion erhalte..

Die Lösung der ersten Ableitung für y wäre 45

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Nimm dafür die Produktregel. Dann ists relativ einfach ;).

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Okay Danke, leider komme ich immer noch zu keinem richtigen Ergebnis.

Mein Rechenweg mit der Produktregel im Bild.

Wär super wenn mir jemand helfen könnte, ich sitz schon den ganzen Tag an der einen Aufgabe :-(

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Du darfst die Exponenten nicht einfach weg'kürzen'.

f(y)= (100 - 4/3 y)^0,4)*y^0,6 |Produktregel

f ' (y) =0.4*  (-4/3)*(100 - (4/3) y)^{-0.6} * y^{0.6} + (100 - 4/3 y)^{0.4} * 0.6*y^{-0.4}

= ( 0.4*  -4/3 y^1 + (100 -4/3 y)^1 * 0.6    )          / ((100 - 4/3y)^{0.6}*y^{0.4})

= ( -8/15 y + 60 - 12/15 y)  / ((100 - 4/3y)^{0.6}*y^{0.4})

Zähler Null setzen: 60 = 20/15 y

45 = y

......  alles auf einen Bruchstrich gebracht und vereinfacht ... ohne Gewähr:

Nullstelle y = 45

Jetzt daraus noch das x berechnen.

EDIT: Gib doch vielleicht mal deine eigentliche Aufgabe an.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28y%29%3D+%28%28-4%2F3%29y%2B100%29%5E%280.4%29%29*y%5E%280.6%29

gibt aber y = 45.

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y=45 wäre sogar richtig

hier nochmal die eigentliche Aufgabenstellung. Aufgabe c

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EDIT: Komme nun im Kommentar oben auf y = 45 und mache daraus meine Antwort.

Answer 1

Du darfst die Exponenten nicht einfach weg'kürzen'. 

f(y)= (100 - 4/3 y)^0,4)*y^0,6 |Produktregel

f ' (y) =0.4*  (-4/3)*(100 - (4/3) y)^-0.6 * y^0.6 + (100 - 4/3 y)^0.4 * 0.6*y^-0.4

= ( 0.4*  -4/3 y¹ + (100 -4/3 y)¹ * 0.6    )          / ((100 - 4/3y)^0.6*y^0.4)

= ( -8/15 y + 60 - 12/15 y)  / ((100 - 4/3y)^0.6*y^0.4)

Zähler Null setzen: 60 = 20/15 y

45 = y

......  alles auf einen Bruchstrich gebracht und vereinfacht ... ohne Gewähr:

Nullstelle y = 45 

Jetzt daraus noch das x berechnen.

Kontrolle

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28y%29%3D+%28%28-4%2F3%29y%2B100%29%5E%280.4%29%29*y%5E%280.6%29 

gibt dort auch y = 45.

Answer 2

versuche es doch mal mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren:

ich nehme mal n statt lambda)

L(x,y,n) = f(x,y) + n*(3x+4y-300)

L'_x(x,y,n) = 0,4*x^{-0,6} * y^{0,6} + 3n

L'_y(x,y,n) = 0,6*y^{-0,4} * x^{0,4} + 4n

L'_n(x,y,n) = 3x+4y-300

alle drei gleich Null setzen und bei den ersten beiden n eliminieren

1,6*x^{-0,6} * y^{0,6}= -12n   und  1,8*y^{-0,4} * x^{0,4} = -12n

1,6*x^{-0,6} * y^{0,6}=1,8*y^{-0,4} * x^{0,4}

1,6 * y = 1,8 * x  bzw.   y= 9/8*x

in L'_n=0   gibt   3x + 9/2x = 300

(15/2)x = 300

x= 40  also y= 45

Also einziger kritischer Punkt ( 40  ; 45)

Jetzt noch entscheiden, ob min oder max mit geränderter Hessematrix

oder Definitheit der Matrix.