Zu welchem Zeitpunkt nimmt der Prozentsatz der Erkrankten am meisten zu?

Question

Die Funktion$$ p(t)=0.005 \cdot (15t^2-t^3) $$ beschreibe den Verlauf einer Krankheit, wobei t die Zeit in Tagen und p(t) den Prozentsatz der Erkrankten angibt.

Zu welchem Zeitpunkt nimmt der Prozentsatz der Erkrankten am meisten zu?

Meine Überlegung war, dass ich die erste Ableitung im D untersuche und den Punkt mit der grössten Steigung extrahiere. Das führt mich aber auf eine falsche Lösung.

Wo liegt bitte mein Überlegungsfehler?

Comments

Tja, die gesuchte Stelle (also der Zeitpunkt) kann natürlich auch am Rand liegen... aber den Definitionsbereich hast Du ja nicht angegeben!

---

'tschuldigung, der von mir eruierte Definitionsbereich ist abgeschlossenes Intervall [0;15]. Wovon lediglich [0;10] betrachtet werden muss, weil hier die Funktion steigende Monotonie aufweist. An den Rändern kann die Stelle nicht liegen.

---

Hm... ich habe 5 Tage heraus, was soll denn herauskommen?

---

Voller Scham muss ich zugestehen, falsch gerechnet zu haben... -_-

Nun komme ich auch auf 5. Danke und Entschuldigung! (:

Die Frage ist, ob es nicht einen leichteren Weg gibt. Denn bei umfangreicheren Intervallen hat man dann ja ziemlich viel zum ausprobieren.

Answer 1

Den konstanten pos. Faktor vorne kann man weglassen.

f(t) = 15 t^2 - t^3

f ' (t) = 30t - 3t^2

f ''(t) = 30 - 6t = 0 -----> t = 5

f '''(t) = -6 neg.

Das wäre die Wendestelle des Graphen. Die Ableitung ist hat hier ein relatives Maximum.

Comments

Zuerst einmal wie immer danke, Lu!

Liege ich bitte richtig in der Annahme, dass der Grund dafür, dass man den konstanten Faktor weglassen könne, darin liegt, dass dies nichts an der Stelle ändert?

Wenn ich das richtig interpretiere, dann berechnest Du mit dem Gleichsetzen nach 0 in der zweiten Ableitung Wendestellen. Nun leitest Du nochmals ab und weisst danach, dass an dieser Stelle ein relatives Maximum liegt. Ich kenne das bislang nur von der zweiten Ableitung, dass wenn diese kleiner ' ist, liegt ein lokales Maximum vor. Das heisst ja im Prinzip, dass Du die erste Ableitung als eigenständige Funktion interpretierst und Du kannst nun wieder das lokale Maximum an einer Stelle berechnen, indem Du davon die zweite Ableitung bestimmst, was in unserem Fall gesamtheimlich betrachtet nun der dritten Ableitung entspricht. Ist das bitte korrekt so?

Das ist ja dann wahnsinnig elegant. :O Das muss ich erst nochmal durchdenken.

---

Liege ich bitte richtig in der Annahme, dass der Grund dafür, dass man den konstanten Faktor weglassen könne, darin liegt, dass dies nichts an der Stelle ändert?

Ja. Die Stelle ändert sich nicht. Der Funktionswert vielleicht schon.

Wenn ich das richtig interpretiere, dann berechnest Du mit dem Gleichsetzen nach 0 in der zweiten Ableitung Wendestellen. Nun leitest Du nochmals ab und weisst danach, dass an dieser Stelle ein relatives Maximum liegt. Ich kenne das bislang nur von der zweiten Ableitung, dass wenn diese kleiner ' ist, liegt ein lokales Maximum vor. Das heisst ja im Prinzip, dass Du die erste Ableitung als eigenständige Funktion interpretierst und Du kannst nun wieder das lokale Maximum an einer Stelle berechnen, indem Du davon die zweite Ableitung bestimmst, was in unserem Fall gesamtheimlich betrachtet nun der dritten Ableitung entspricht. Ist das bitte korrekt so?

Ja. Die 3. Ableitung von f ist die zweite Ableitung von f ' und die interessiert dich ja noch.

---

Herzlichen Dank!

(und ein gutes neues Jahr mit Kraft und Inspiration)  (:

---

Danke. Wünsch ich dir auch!

---

Schon ganz gut erkannt
f ( t ) = 15 t² - t³
f ' (t) = 30t - 3t²

Neue Funktion
g ( t ) = f ´( t )
g ( t ) = 30t - 3t²
g ´( t ) = 30 - 6t
Stelle mit waagerechter Tangente
30 - 6t = 0 -----> t = 5

g ´´( t )  = -6
g ´´ ( 5 ) = -6  -> Maxium

Wenn du später vertrauter mit Funktionen bist wirst
du auch verinnerlicht haben
An der Stelle mit dem steilsten Anstieg wird die
Funktion wieder flacher.
Steiler Anstieg - Wendepunkt - flacher Anstieg
Also, ohne eine Zwischenfunktion einzuführen. :
der Wendepunkt ist in diesem Fall die Stelle
mit dem steilsten Anstieg.

Nachtrag : die Kommentare haben sich zeitlich wieder überschnitten.

---

Hallo Georg, macht nichts, trotzdem herzlichen Dank für Deine Antwort und ausführliche Auflistung!

Dieser Zusammenhang ist sehr interessant und ich freue mich, langsam den "Wald trotz lauter Bäumen" zu erkennen... (:

Auch Dir wünsche ich ein gutes neues Jahr mit Inspiration und Gesundheit!

---

Gern geschehen. Vor dir liegt noch ein weites mathematisches Feld.