Bestimme eine Basis von kerv und gib eine geometrische Interpretation des Kerns an

Question

Mit \( < ·, · > \) bezeichnet man das Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{3} \). Es sei \( U \) die von \( U = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( V = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \) aufgespannte Ebene.

Man definiert \( \psi : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch

\( \psi (x) = \frac{\langle u, x\rangle}{\left\langle v,u \rangle \right.} u + \frac{\left\langle v,x\right\rangle}{\left\langle v,v\right\rangle} V \)

Zeigen Sie:

1. \( \psi \) ist eine lineare Abbildung

2. \( \psi \mid u=\operatorname{id}_u \)

3. \( \psi ^{2} = \psi \)

Bestimmen Sie ene Basis von Kern und geben Sie eine geometrische Interpretation des Kerns an.

Answer 1

Also zu 1. :

Nehme dir einen Vektor x = (x₁,x₂,x₃₎  . Und setze  x ,u und v  doch einfach mal in deine Funktion ein.

Vereinfache dann so gut es geht . Um zu zeigen, dass eine Lineare Abbildung vorhanden ist muss gelten:

1. f(ax) = a(fx)

2. f(x+y)= f(x)+f(y)

und zwar  für alle x,y ∈ R^3 und a ∈ R

Die beiden Sachen müsstest du relativ einfach zeigen können.