Man definiert das Skalarprodukt zweier Vektoren \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) durch \( \langle x, y\rangle:=\sum \limits_{i=1} x_{i} y_{i} \), also durch die Summe der Produkte der Komponenten. Geometrisch bedeutet \( \langle x, y\rangle=0 \), daß die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.
Um einen Nicht-Nullvektor zu konstruieren, der auf \( x:=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \) senkrecht steht, \( \mathrm{mu} \beta \) man also einen Vektor \( 0 \neq y=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right) \) im Kern der Matrix (1 2 3) angeben. Alsdann läßt sich ein weiterer Vektor \( z \neq 0 \) im Kern der Matrix \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ y_{1} & y_{2} & y_{3}\end{array}\right) \) finden, so dass man am Ende drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Vektoren hat, deren erster der obige Vektor \( x \) ist.
Finden Sie also \( y, z \in \mathbb{R}^{3} \) nach obigem Konstruktionsschema und sorgen Sie gleichzeitig dafür, daß beide Vektoren \( y, z \), wie auch schon \( x \), nur ganzzahlige Komponenten besitzen.
