Man bestimme eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und bestätige die Dimensionsformel

Question

Aufgabe:

Die Lineare Abbildung ƒ: ℝ⁵  →ℝ³ wird durch die folgende Matrix A von ƒ bezüglich der kanonischen Basen gegeben

\( A=\left(\begin{array}{rrrrr}3 & -6 & -3 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & -2 & 0\end{array}\right) \)

Man bestimme eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und bestätige die Dimensionsformel.

Answer 1

Mache erst mal Stufenform aus der Matrix, das gibt (z.B.)

3   -6   -3   -6  -2 
0    0   1      3   0
0    0    0     0   1

wenn du den Kern brauchst, musst du ja Matrix * Vektor (x1,x2,x3,x4,x5) = 0 lösen.
gibt
x5=0 dann x4 frei wählbar etwa x4 = t und wegen der 2. Zeile also  x3 = -3t
dann x2 wieder wählbar etwa x2=s und wegen 1. Zeile also

3x1 - 6s +9t - 6t  - 0 = 0
3x1  =    6s - 3t
x1 = 2s  -   t

also vektor x = (   2s-t  ;   s  ;    -3t   ;   t   ;  0 )
                       =  ( 2s ; s ; 0  ;0  ; 0 )  +  (  -t  ;   0  ;  -3t  ;  t   ;   0 )
                     = s* ( 2 ; 1 ; 0  ;0  ; 0 )  + t* (  -1  ;   0  ;  -3  ;  1  ;   0 )

also ist ( 2 ; 1 ; 0  ;0  ; 0 )  ; (  -1  ;   0  ;  -3  ;  1  ;   0 ) eine Basis von Kern A
also dim (Kern) = 2
Basis vom Bild liest du auch an der Stufenform ab, die besteht aus den drei Vektoren

Dim-Formel für Hom von V nach W lautet    dim (Kern) + dim (Bild) = dim (V)
also hier  2 + 3 = 5 Bingo!
(1;0;0)  ,  ( 0;1;0) , (0;0;1)  also dim(Bild) = 3

Comments

erstmal vielen vielen dank für deine Mühe und Hilfe...

ich verstehe das Thema nicht gut, und wenn ich deine Rechnung anschaue verstehe ich nur die eine Hälfte...

es ist ja ein 3 x 5 Matrix. Aber warum ist den hier jetzt x5=0???

Hast du hier die Determinante ausgerechnet oder wurde quasi für jeden wert "x" eingefügt, sprich 3x_{1 ,} -6x₂, -3x₃

etc...

und warum ist x4 frei wählbar? Welchen Wert hast du den genommen wenn es wählbar ist....

Irgendwie gebe ich langsam hie Hoffnung in Mathe auf :(((

Aber nichts desto trotz möchte ich die Danken, dass du dir überhaupt die Aufgabe angeschaut hast, danke!

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3x1 - 6s +9t - 6t  - 0 = 0 
3x1  =    6s - 3t 
x1 = 2s  -   t 

kannst du mir die Rechnung vielleicht ausführlicher erklären, ich weiß z.b wie du auf die +9t kommst??Ich hacke irgendwie an der Rechnung, verstehe nicht so wirklich  was hier gemacht wurdee...

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es ist ja ein 3 x 5 Matrix. Aber warum ist den hier jetzt x5=0???

Die letzte Zeile bedeutet doch:

0*x1 +0*x2 +    0*x3 +    0*x4   +   1*x5 = 0

und das gibt doch x5=0

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und warum ist x4 frei wählbar? Welchen Wert hast du den genommen wenn es wählbar ist....
weil in der 2. Gleichung 1x3 +      3*x4 =   0 steht
Dann kannst du halt einen frei wählen und den anderen asurechnen
x4 frei wählbar etwa

x4 = t und wegen der 2. Zeile also  x3 = -3t