Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges a) kein Triebwerk ausfällt,... d) mindestens ein Triebwerk ausfällt.

Question

Hey

Ein neues Airbusmodell soll vier Triebwerke haben. Dazu werden Triebwerke konstruiert. Der Hersteller der Triebwerke gibt die Ausfallwahrscheinlichkeit q bei durchschnittlicher Flugleistung und regelmäßiger Wartung pro Jahr mit q = 10^-5 an. 

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während eines Fluges

a) kein Triebwerk ausfällt,

b)  alle Triebwerke ausfallen,

c) drei Triebwerke ausfallen,

d) mindestens ein Triebwerk ausfällt.

EDIT: Hinweis: Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe kannst du davon ausgehen, dass die Triebwerke unabhängig von einander ausfallen. 

Ich bin ganz schlecht in Wahrschenlichkeitsrechnungen kann mir jemand helfen bzw. erklären wie ich die Aufgabe berechnen kann.

Ganz großes Dankeschön im voraus!!

Comments

Ich habe Probleme mit der Aufgabenstellung. Die Ausfallwahrscheinlichkeit pro Jahr ist hier gegeben. Man bräuchte allerdings die Ausfallwahrscheinlichkeit pro Flug.

Um das umrechnen zu können fehlen aber weitere Angaben und es fehlt auch die Angabe mit welcher Verteilung gerechnet werden könnte.

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Die einzige Information die noch gegeben ist ist:

Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe kannst du davon ausgehen, dass die Triebwerke unabhängig von einander ausfallen.

Mehr wird nicht gegeben.. :/

Answer 1

Der Hersteller hat etwas unglücklich formuliert, welche Wahrscheinlichkeit er hier angibt. Ein Flug kann ja nicht ein ganzes Jahr dauern.

Annahme diese Wahrscheinlichkeit q = 10^-5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Triebwerk während eines Fluges ausfällt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während eines Fluges a) kein Triebwerk ausfällt,

P(Keines fällt aus) = (1 - 10^{-5})^4

b)  alle Triebwerke ausfallen

P(B) = (10^{-05})^4

c) drei Triebwerke ausfallen

Hier berechne ich, die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Triebwerke ausfallen.

P(C) = 4 * (10^{-5})^3 * (1- 10^{-5})

Wenn alle 4 ausfallen, fallen ja auch 3 aus. Sollte da kein genau in der Fragestellung vorhanden sein, musst du nun noch P(B) addieren.

, d) mindestens ein Triebwerk ausfällt.

P(D) = 1 - P(A)

= 1 - (1 - 10^{-5})^4
Diese Ausdrücke kannst du jetzt selbst in deinen Taschenrechner eingeben.

Comments

@Lu: Ist zwar nicht meine Aufgabe, aber interessiert mich trotzdem. Hast du bei der c einfach die Bernoulli-Formel verwendet? Die 4 kann ich doch einfach mit "n über k" berechnen?

Und bei der d hätte ich doch einfach die Summe von 1-4  berechnen können, oder?

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Simon: Zwei mal Ja.

1. 4 ist (4 tief 1). EDIT: 4 ist (4 tief 3)

2. Wenn 'mindestens' oder höchstens' in so einer Aufgabe steht, kannst du immer überlegen, ob es sich lohnt über die Gegenwahrscheinlichkeit zu gehen, wie ich das hier gemacht habe. Da musste ich beim Gegenereignis nur 1 Einzelwahrsch. ausrechnen und die dann von der Wahrsch. des sicheren Ereignisses subtrahieren.

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Gut.

Du sagtest gerade bei der c: 4 tief 1, ich hätte 4 tief 3 genommen, da ja 3 ausfallen? Kommt auch 4 raus oder war des jetzt Zufall?

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Nein das ist nicht Zufall. Die Binomialkoeffizienten enthalten eine Symmetrie: Es gilt

( n tief k) = (n tief (n-k))

Du kannst die Binomialkoeffizienten auch im Pascaldreieck ablesen (erspart Tipparbeit).

Pascaldreieck (kennst du bestimmt(?))

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

usw.

überleg dir mal, wie du kombinatorisch erklären kannst, dass

(a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5

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ok, aber ist dann 4 tief 3 bei der c) falsch?

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Nein. Warum denn falsch, wenn es gleich viel ist? Zudem ist (4 tief 3) sogar besser verständlich. Ich werde das oben noch ändern.

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Gut. Ich bin derzeit ähnlich weit in Stochastik (Bernoulli, Binomial...). Die Aufgabe war eine schöne Übung für mich :)

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@Lou: dankeschoen!!

Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit berechenen moechte das genau ein Triebwerk ausfaellt, wie mach ich das?

Ich hatte das zuerst so gemacht:

P(genau ein Triebwerk faellt aus)=0.0001 - 0.9999³=-0.99960003=99.96000%

aber das ist ja offensichtlich falsch..

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bi663:

Mach es so wie bei genau 3 Triebwerken:

c) drei Triebwerke ausfallen

Hier berechne ich, die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Triebwerke ausfallen.

P(C) = 4 * (10^-5)³ * (1- 10^-5)

c2) genau ein Triebwerk fällt aus

P(C2) = 4 * (10^-5)^1 * (1- 10^-5)^3

Wie Simon richtig sagte, kann man hier alles mit der sog. Binomialverteilung rechnen. Wenn ihr das noch nicht kennt, sollte es als Nächstes besprochen werden. Diese Art  von Aufgabe bereitet auf die Theorie vor.