Matrizen nur invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist?

Question

Wenn bei einer Matrix die Determinante 0 ist, dann heißt es ja eigentlich, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Beim Üben habe ich jetzt eine 4x4 Matrix gehabt, da ist die Determinante 0, aber die Matrix ist trotzdem invertierbar.

Gibt es Ausnahmen oder trifft das nur bei 3x3 Matrizen zu?

Wenn es bei allen zutreffen sollte, woran kann man dann erkennen, ob die Matrix invertierbar ist, obwohl die Determinante 0 ist?

Answer 1

Wenn die Inverse einer Matrix A existiert, dann gilt:
→ det{ A } =/= 0
→ A hat vollen Rang
→ die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig
→ die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis des Rⁿ

Es gibt also keine Ausnahmen.

Man kann das z.B. auch mit Hilfe des Gauß-Algorithmus bestimmen. (Die Determinante reicht aber aus.)

Vielleicht hast Du Dich ja verrechnet? Poste mal Deine Matrix.

Comments

Also die Matrix ist:

$$\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)$$

Davon ist die Determinante gleich 0 oder habe ich mich da schon verrechnet?

Die inverse Matrix dazu wäre die:

$$\left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right)$$

Vielleicht habe ich auch bei der Probe falsch gerechnet, aber ich habe immer die Einheitsmatrix rausbekommen. Ich habe 3mal nachgerechnet, weil ich mich gewundert hatte.

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Entwicklung nach der vierten Spalte ergibt:

$$\left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right| = (-1)^{4+3} · 1 · \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| = (-1)·1·(-1) = 1$$

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Hab die Determinante der Matrix mal mit MatLab berechnet und kann das Ergebnis von meinem Vorgänger bestätigen. det{Matrix} = 1.

Die Inverse hast Du richtig berechnet. Ich erhalte ebenfalls

$$\begin{array} { c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } \end{array}$$

als Ergebnis.

Ich denke Du berechnest am besten die Determinante nochmal neu.

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Ich denke, ich kann Dir nun sagen wo der Fehler liegt. Wenn ich mich nicht täusche, dann verwendest Du die Regel von Sarrus zur Berechnung der Determinante. Die Regel von Sarrus gilt allerdings nur für 3x3-Matrizen (siehe Formelsammlung Bronstein → Determinanten). Um größere Determinanten zu berechnen kannst Du den Laplaceschen Entwicklungssatz verwenden.

Laut Bronstein gibt es noch eine andere Methode, die sehr vorteilhaft sein soll: Um die Determinante zu bestimmen, wandelst Du die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix um und multiplizierst dann alle Diagonalelemente. Das Ergebnis der Multiplikation entspricht dem Wert der Determinante.

Die obere Dreieckmatrix erhältst Du indem Du das Eliminationsverfahren (oder auch Gaußscher Algorithmus genannt) anwendest.

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Jaaa danke, ich habe überhaupt nicht daran gedacht, dass ich den Entwicklungssatz nehmen muss. Dann ist alles klar.