Beispiel: Lineare Funktion, Exponentielle Funktion

Question

Aufgabe:

Zum Zwecke der Wiederansiedlung des Störs wurden im Jahr 2000 an der Ostsee 200 Tiere ausgesetzt. Die Population hat sich in 5 Jahren auf 250 Tiere vergrößert.

a) Nehmen Sie an, dass das Wachstum linear verläuft. Wie viele Tiere kann man unter dieser Annahme im Jahr 2030 erwarten?

b) Nehmen Sie nun an, dass die Vermehrung exponentiell nach dem Wachstumsgesetz \( \mathrm{N}(\mathrm{t})=\mathrm{N}(0) \cdot \mathrm{e}^{\lambda+\mathrm{t}} \) erfolgt.

i. Berechnen Sie die Wachstumskonstante \( \lambda \).

ii. Wie viele Störe gibt es unter dieser Annahme im Jahr 2030?

iii. Wie viel Prozent beträgt die jährliche Vermehrung?

c) Welches Wachstumsmodell (lineares Wachstum vs exponentielles Wachstum) halten Sie in diesem Fall für realistischer? Geben Sie eine kurze Begründung.

Ansatz/Problem:

Bitte schrittweise erklären. Mich interessiert besonders bei b) welchen Wert ich für N(t) = (Wert) * N(0) nehmen muss.

Answer 1

Okay. Ich erkläre dir, was man rechnen muss. Rechnen musst du aber selber .

a) Linear = In jedem Jahr kommen gleich viele Tiere hinzu.  Daraus wenn in 5 Jahren 50 hinzugekommen sind. Dann kommen in den nächsten 5 Jahren auch wieder 50 hinzu, in den 5 Jahren danach wieder und so weiter.

b) N(0) ist der Wert für zum Zeitpunkt 0 . Also wieviele Tiere von Anfang an da sind.

i)

Du hast nach Aufgabentext gegeben N(5)= 250 . Du hast also 250 = 200*e^{λ5}. Das musst du nach Lambda umformen.

ii)Tipp 2030: N(0)  ist zum Zeitpunkt 2000 also ist 2030 N ( ?)  ???

iii) Wachstumsrate pro Jahr = e^{λ*1}          (natürlich mit dem von dir berechnetem Lambda)

c) Je mehr Tiere es gibt, desto mehr Nachkommen gibt es(in der Theorie). Was folgt daraus?

Comments

a)
k * 5 = 50 --> k = 10
f(x) = 10x + 250

Im Jahr 2030 also 25 Jahre später sind es:
f(25) = 10 * 25 + 250 = 500 Tiere

b)
i.
N(t) = N(0) * e ^λ*t
250 = 200 * e ^λ*5
1,25 = e ^λ*5
ln(1,25) = 5*λ*ln(e) --> ln(e) = 1
λ = ln(1,25) / 5
λ = 0,04463

iii: 4,46%

ii:
N(t) = 200 * e ^0,04463*30
N (t) = 763 Tiere

c)
Exponentielles Wachstum ist realistischer. Je mehr Tiere desto mehr Nachkommen.

Nochmals Danke

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Alles richtig gerechnet :)

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c)
Exponentielles Wachstum ist realistischer. Je mehr Tiere desto mehr Nachkommen.

Bis die Feinde und Krankheiten kommen oder die Nahrung weggefressen ist.

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Fehlerhinweis :
iii: 4,46%
Wachstumsrate pro Jahr = e^λ*1   
e^{0,04463*1} = 1.0456
1.0456^t = e^{λ*t}
4.56 %

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Oh,dass hatte ich extra nochmal nachgerechnet, weil mir das komisch vorkam. Hab ich mich wohl verguckt im Taschenrechner.

Dann hat der Fragesteller hier die Wachstumskonstate Lambda mit der Wachstumsrate verwechselt.

!Das ist nicht das selbe!

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a) \( f(x)=10 x+250 ; 500 \) Tiere
\( \begin{array}{lll}\text { b) i. } \lambda=0,04463 & \text { ii. 763 Tiere } & \text { iii. } 4,56 \%\end{array} \)

c) Exponentielles Wachstum ist realistischer. Wachstum ist proportional zur vorhandenen Anzahl. Je mehr Fische desto mehr Möglichkeiten der Vermehrung. Es ist eher unrealistisch, davon auszugehen, dass sich der Bestand jedes Jahr um 10 erhöht, egal wie viele Fische es gibt.

Ja stimmt.

Danke für den Hinweis.

Hab ich das richtig verstanden?

N(t) = N(0) * a ^t → 4,56% ist "a" in diesem Formel?

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N(t) = N(0) * a ^t --> 4,56% ist "a" in diesem Formel?

N(t) = N(0) * 1.0456 ^t
N(t) = N(0) * e^0,04463*1