Bestimmen Sie Nullstellen der Funktion: f(x) = x^3+x-1

Question

Hallo

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion:$$f(x)=x^3+x-1$$

Ich habe zuerst versucht die Nullstellen nach gängigem Wege zu bestimmen. Das heisst zuerst versuchen eine Nullstelle aufgrund des konstanten Gliedes zu erraten, was nicht funktioniert hat. Aufgrund der Tatsache, dass diese Aufgabe auf einer Serie mit "Newtonsches Näherungsverfahren" steht (^^), wusste ich nun, dass ich dieses anwenden muss.

Ich komme nach rund sechs Interaktionen auf 0.6823643922.

Meine Frage ist jetzt mehr: Gibt es Merkmale, anhand welcher man umgehend aufgrund der Funktion schon erkennt, dass man das Näherungsverfahren benötigen wird? Oder braucht es dafür einfach Erfahrung?

Answer 1

$$f(x)=x^3+x+1 \Rightarrow f'(x)=3x^2+1>0, \forall x \in \mathbb{R}$$

Das bedeutet dass es maximal eine reelle Nullstelle gibt.

$$(\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x), \lim_{x \rightarrow +\infty}) =(-\infty, +\infty)=\mathbb{R}$$

$$0 \in \mathbb{R} $$

Das bedeutet dass es mindestens eine reele Nullstelle gibt.

Also gibt es genau eine reele Nullstelle a.

Da das Polynom 3. Grades ist, gibt es auch 2 komplexe Nullstellen.

Nun zu deiner Frage:

Da es keine rationale Nullstellen gibt, sucht man eine Näherung.

Comments

Besten Dank für die Erklärung, obschon mir diese zwar nicht ganz schlüssig ist.

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Soll ich etwas weiter erklären?

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Vielleicht kann ich mal "interpretieren" und Du kannst mir dann bitte sagen, wie weit ich daneben liege... ^^

Wenn die Ableitung grösser 0 ist, dann gibt es höchstens eine reelle Nullstelle? Und die Funktion strebt, wenn x gegen minus unendlich oder unendlich geht, gegen minus unendlich oder unendlich (dieses Intervall entspricht R). 0 ist in R enthalten, und das heisst jetzt, dass es mindestens eine reelle Nullstelle gibt? Gut, und weil beides gilt, gibt es genau eine reelle Nullstelle.

Da das Polynom dritten Grades ist, gibt es zugleich 2 komplexe Nullstellen.

Und die letzte Schlussfolgerung begreife ich nicht ganz: Was ist denn eine rationale Nullstelle?

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Zitat: Das bedeutet dass es maximal eine reelle Nullstelle gibt.

Auf das fehlende Komma möchte ich nicht näher eingehen, aber "reelle Nullststelle" wäre schon gut!

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"Wenn die Ableitung immer grösser 0 ist, dann gibt es höchstens eine reelle Nullstelle? richtig.

Und die Funktion strebt, wenn x gegen minus unendlich oder unendlich geht, gegen minus unendlich oder unendlich (dieses Intervall entspricht R). 0 ist in R enthalten, und das heisst jetzt, dass es mindestens eine reelle Nullstelle gibt? Gut, und weil beides gilt, gibt es genau eine reelle Nullstelle. ok (Polynome weisen ja keine Unstetigkeitsstellen (z.B. keine Sprungstellen) auf

Da das Polynom dritten Grades ist, gibt es zudem 2 komplexe Nullstellen.

Und die letzte Schlussfolgerung begreife ich nicht ganz: Was ist denn eine rationale Nullstelle?"

Eine Nullstelle, die sich in der Form x = a/b schreiben lässt. a eine ganze Zahl und b eine natürliche Zahl (ohne 0). Also: Die Nullstelle ist eine "rationale Zahl."

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Hallo Lu, danke für Deinen Beitrag!

Dann würde ich noch gerne ergänzend fragen: Was ist dann, wenn die Ableitung immer kleiner 0 ist?

Bei der Begründung, wieso wir mindestens eine reelle Nullstelle haben, bin ich noch nicht ganz klar im Kopf. Liegt das jetzt daran, dass 0 im Wertebereich liegt?

Ach so, klar, hätte ich wissen müssen, was eine rationale Nullstelle ist. Im obigen Beitrag von maiem begreife ich aber den Satz nicht. Ist damit gemeint, dass es in diesem Falle keine rationale Nullstellen gibt? Oder ist das allgemein gedacht?

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"Dann würde ich noch gerne ergänzend fragen: Was ist dann, wenn die Ableitung immer kleiner 0 ist?

Bei der Begründung, wieso wir mindestens eine reelle Nullstelle haben, bin ich noch nicht ganz klar im Kopf. Liegt das jetzt daran, dass 0 im Wertebereich liegt?"

Ja und an der Stetigkeit von z.B. Polynomen. (Zwischenwertsatz für stetige Funktionen: https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz )

"Ist damit gemeint, dass es in diesem Falle keine rationale Nullstellen gibt? Oder ist das allgemein gedacht?"

Das bezieht sich auf diese Funktion. Bei y = x^3 + 8 wäre eine rationale Nullstelle vorhanden.

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Ich verstehe, gut, dann bedanke ich nochmals sehr für Deine Hilfe, Lu!

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Bitte. Gern geschehen.

Gerechnet hat ja maiem.

Answer 2

Hier sieht man es besonders schnell -> Hat man ein Polynom dritten Grades (oder auch anderen Grades gegeben) so schaut man sich immer das Absolutglied und dessen Teiler an. Liegt eine Nullstelle vor, die in den ganzen Zahlen zu finden ist, dann ist sie ein Teiler des Absolutglieds. Das ist hier nicht der Fall, weswegen man sich dann relativ schnell an ein Näherungsverfahren wenden kann

Hier nochmals das Newtonverfahren:

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

^^

Grüße

Comments

Besten Dank für Erklärung und Link. Man kann also immer zuerst das Absolutglied betrachten und dann entscheiden.

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Das kann einem zumindest weitere Informationen liefern, ja ;).

Answer 3

So einfach kann man das leider immer nicht sehen. Meist können Taschenrechner aber kubische Gleichungen direkt mit einer Formel berechnen. Anhand des Ergebnisses weiß man dann wie man verfahren kann.

Man findest dann die Lösung:

x = 0.6823278038

Answer 4

§1: habe noch nie erlebt, dass Lehrer Nullstellen erfolgreich erraten lassen, die außerhalb von -4 ... 4 liegen.

§2: da die Offset-Verschiebung hier nur bei winzigen -1 liegt, kann die Nullstelle nicht weit entfernt sein

§3: Deine Berechnungen sind sehr ungenau! Du hast nicht mal 5 richtige Nachkommastellen. Mit nur 5 Iterationen kommt man bereits auf 15 richtige:

§4: Für Interessierte: Es gibt analog zur pq-Formel auch für Gleichungen 3. Grades eine exakte PQRST-Formel. http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

wendet diese an und bekommt ((9+sqrt(93))/2)^{1/3}/3^{2/3}-(2/(3*(9+sqrt(93))))^{1/3}

= x1=0.68232780382801932736948373971...

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Besten Dank für Deine Antwort. Kommen wir kurz zu den einzelnen Paragraphen:

1. Die Nullstellen, die wir jeweils im Rahmen von Aufgabenserien erraten haben, waren ungefähr in Deinem angegebenen Intervall.

2. Aha, das merk' ich mir!

3. Ich habe heute zum ersten Mal zur Lösung die Speicherfunktion meines Taschenrechners verwendet. Gut möglich, dass ich mich verrechnet habe. Werde das nochmals machen.

4. Danke für den Tipp!

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Ich habe da doch noch eine Frage.

Wenn ich die Formel $$x_2=1-\frac {f(1)}{f'(1)}$$verwende, um ausgehend vom ersten berechneten Iterationswert 1 den nächsten zu berechnen, so komme ich genau auf $$\frac {3}{4}$$und nicht auf diese Zahl, die Deinem Programm entspringt. Der Unterschied ist minimal und doch würde mich interessieren, an was das liegt.

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Ich habe eine numerische Ableitung eingebaut, die für beliebige Funktionen (auch Exoten wie LambertW ist selbst wieder eine Iteration!) immer funktioniert. Die Anzahl der Iterationen bis zur Grenze ist aber fast immer identisch (zur symbolischen Ableitung), da meist eine gute Selbstkonvergenz vorliegt.

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Aha aha, herzlichen Dank für die Erklärung. (: