Newtonverafhren Nullstellen Startwert

Question

Aufgabe:

f(x)= cos x -x

Problem/Ansatz

Ich muss da     f(x)=0     finden und zwar mit Newton Verfahren

ich weiss schon wie NewtonVerfahren funktioniert. Das einzige was ich nicht weiss mit welchem Startwert man anfangen soll. Am besten wäre es wenn die ganze Aufgabe schrittweise gelöst wird.

Besten Dank

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) und \(\sin x\approx x\) würde ich mit \(x_0=\frac{\pi}{4}\) anfangen. Beim Neweton-Verfahren berechnet man zunächst für einen Punkt \(x_0\) die Tangente an die Funktion \(f(x)\):$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Dann schaut man, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet, bestimmt also die Nullstelle$$0\stackrel!=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\quad\Leftrightarrow\quad x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\Leftrightarrow\quad x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$und wählt diese Nullstelle als neunen Wert \(x_1\) für die Iteration. Das Verfahren ist also:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Hier haben wir:$$f(x)=\cos(x)-x\quad;\quad f'(x)=-\sin(x)-1\quad;\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

Damit kommt Excel sehr schnell zum Ergebnis:

$$\boxed{x=0,739085133}$$

Comments

Danke Vielmals für die schnelle und ausführliche Antwort

Answer 2

Um einen geeigneten Startwert zu finden, solltest du einfach in einer Skizze den Graph der Cosinusfunktion  mit y=cos(x)  sowie die Gerade mit y=x  aufzeichnen. Ganz wichtig:  du musst für die Winkel das Bogenmaß benützen.

In der Skizze lässt sich sehr leicht ablesen, wo ungefähr der (einzige !) Schnittpunkt von Cosinuskurve und Gerade liegen muss.

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Nebenbei:  die vorliegende Gleichung eignet sich hervorragend für ein anderes Näherungsverfahren, das in der Ausführung mittels Taschenrechner noch deutlich einfacher geht als das Newtonverfahren.

Rezept:

(0.)  Stelle den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) ein.

(1.)  Gib eine Zahl ein, zum Beispiel 0 oder 1 oder irgendwas.

(2.)  Tippe nacheinander einige Male die COS - Taste und betrachte die Ergebnisse, die dabei entstehen.

Die Ergebnisse bilden eine Zahlenfolge, welche (recht rasch) gegen die gesuchte Lösung streben und schließlich praktisch dort verharren.

Warum dies funktioniert und die Lösung der gegebenen Gleichung liefert, ist ein interessantes Thema !

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration