Berechnen Sie Breite b unter Anwendung des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x = 4, 5

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für die in der unten dargestellten Abbildung (Einheit m)

die Breite b unter Anwendung des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x = 4, 5

Problem/Ansatz:

Newton Verfahren ist ja xn+1 = xn - ( f(xn) / f`(xn) )

Leider habe ich das noch nie gemacht.

Ich habe hier ja 2 Funktionen. Welche würde ich denn in die Formel einsetzen?

Oder muss ich vorher die beiden Funktionen gleichsetzen?

Freue mich über Hilfe.

Answer 1

Hallo,

Ich habe hier ja 2 Funktionen.

Du hast 2 Funktionen. Du suchst aber nicht die Nullstellen dieser Funktionen, sondern einen Schnittpunkt. Mit dem Newtonverfahren kann näherungsweise eine Nullstelle einer Funktion \(f(x)\) bestimmen. Das bedeutet, es wird ein Wert für \(x=b\) gesucht, für den gilt$$f(b) = 0$$Der Schnittpunkt zweier Funktionen zeichnet sich dadurch aus, dass beide Funktionen an einer Stelle - hier \(b\) - den gleichen Funktionswert haben. Also hier gilt$$y_1(b) = y_2(b)$$ und das \(b\) ist gesucht. In dem konkrete Fall ist$$y_1(x) = 0,5x \\ y_2(x) = 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$D.h. es ist ein Wert für \(x=b\) gesucht, für den gilt$$0,5 b = 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right), \quad b=\,?$$Das formt man nun so um, dass auf einer Seite eine 0 steht, und ersetzt das \(b\) vorläufig durch ein \(x\) z.B.$$\begin{aligned}0,5 b &= 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right) &&|\, - 0,5b \\ 0 &= 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right) - 0,5b \\ f(x) &= 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 0,5x\end{aligned}$$Jetzt haben wir eine Funktion \(f(x)\) vorliegen, und wir wissen, wenn wir einen Wert für \(x\) finden, für den \(f(x)=0\) ist (oder fast ist), dann haben wir den Wert für \(b\) gefunden. Dazu braucht man noch die Ableitung von \(f(x)\):$$\begin{aligned} f(x) &= 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 0,5x \\ f'(x) &= \frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 0,5\end{aligned}$$Und lt. Aufgabenstellung soll man bei \(x_1 = 4,5\) starten. Dazu macht man sich eine kleine Tabelle:$$\begin{array}{c|ccc}n& x_n& f(x_n)& f’(x_n)\\\hline 1& 4,5& 0,084220& -1,442260\\ 2& 4,558394& -0,000987& -1,475930\\ 3& 4,557725& -1,27374E-07& -1,475549\\ 4& 4,557725& 0& -1,475549\end{array}$$berechnet für das \(x_n\) die Werte der Funktion \(f(x_n)\) und der Ableitung \(f'(x_n)\) und das \(x_{n+1}\) der nächsten Zeile nach der Formel $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$und Du siehst, dass nach vier Schritten ein Wert heraus kommt, für den \(f(x_4)=0\) ist$$b \approx 4,557725$$überprüfe dies, indem Du den Wert in beide Funktionen \(y_1\) und \(y_2\) einsetzt.

ich habe Dir das ganze hier noch mal dargestellt

https://www.desmos.com/calculator/lekq1wa85a

der rote Graph ist der Graph der Funktion \(f(x)=y_2(x)-y_1(x)\). Und da die Funktion \(f(x)\) die Differenz der beiden ursprünglichen Funktionen \(y_1\) und \(y_2\) beschreibt, liegt die Nullstelle von \(f(x)\) genau beim gesuchten Wert \(b\).

Gruß Werner

Comments

Ich bedanke mich vielmals. Ich konnte alles nachvollziehen. Ich hatte tatsächlich den richtigen Ansatz. Hatte die beiden Funktionen gleichgesetzt...usw. Aber jetzt habe ich es noch besser verstanden.

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Guten Abend nochmal,

ich habe noch eine frage,

im Aufgabenteil d) der aufgabe soll noch die Querschnittsfläche mit Hilfe des Simpson-Verfahren überprüft werden.

Als Hinweis ist in der Aufgabenstellung noch folgendes gegeben:

Die Simpsonsche Formel lautet ja:

$$Q(f)=\frac{b-a}{6}*(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))$$

Ich bin mit dem Simpson Verfahren nicht so vertraut und wüsste jetzt nicht genau wie ich da vorgehen müsste.

Welche Werte setzte ich in die Formel für a und b ein? Welche Funktion ist hier für die berechnung relevant?

Vielleicht ist noch zu erwähnen, das in Aufgabenteil c) noch der Schwerpunktabstand (ey) von der x-Achse mit der Integralrechnung berechnet werden soll.

ist dieser relevant für aufgabenteil d)?

Vielen dank im Voraus.

ps: sry für die vielen Fragen..

Gruß

Text erkannt:

Hinweis: Beim Auswerten der Integrale sind die Zwischenschritte mit Einsetzen und Auswertung der Integrationsgrenzen anzugeben.
Als Lösung kann verwendet werden:
\( \int \sin ^{2}(a x) \cdot d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4 a} \sin (2 a x) \)
Sollte Ihnen die Lösung zu a) nicht gelingen, verwenden Sie für die Breite den Wert \( b=4,50 \mathrm{~m} \).

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Ich bin mit dem Simpson Verfahren nicht so vertraut und wüsste jetzt nicht genau wie ich da vorgehen müsste.

Das ist das Kreuz mit den Formeln! Mathematik besteht nicht darin, irgendeine Formel zu kennen, dort Werte einzusetzen, in den TR einzutippen und das Ergebnis abzuschreiben - ganz bestimmt nicht!

Wenn Du nicht weißt, was das Simpson-Verfahren tut, solltest Du Dich zuerst darum kümmern.

Das Ziel ist es, die grüne Fläche zu berechnen:

https://www.desmos.com/calculator/gtjn6t8lle

Das Simpson-Verfahren besteht nun darin, eine Funktion - hier \(y_2(x)\) - durch eine Parabel anzunähern und nur die Fläche unter der Parabel zu berechnen. Eine Parabel kann durch drei Punkte definiert werden. Und für das Simpson-Verfahren wählt man den Anfang \(x=a\), das Ende \(x=b\) und die Mitte \(x=(a+b)/2\) des Intervalls, in dem das Integral berechnet werden soll.

Oben im Bild hab ich die drei Punkte und die Parabel (rot gestrichelt) eingezeichnet.

In diesem konkreten Fall ist also \(a=0\), \(b\) ist das \(b\) aus der Aufgabenstellung und \((a+b)/2 = b/2\). Und das Ergebnis aus der Simpson-Regel ist$$A_S \approx 10,01 \quad (9,902) $$was etwas mehr als 1% gegenüber dem genauen Wert zu groß ist.

\(\int \sin ^{2}(a x) \cdot d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4 a} \sin (2 a x) \)

das hat mit Deiner Aufgabe nichts zu tun!?

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Vielleicht ist noch zu erwähnen, das in Aufgabenteil c) noch der Schwerpunktabstand (ey) von der x-Achse mit der Integralrechnung berechnet werden soll.

mache dazu bitte eine neue Frage auf!

ist dieser relevant für aufgabenteil d)?

das kann Dir hier niemand beantworten, da wir den Aufgabenteil d) nicht kennen.