Hallo,
Ich habe hier ja 2 Funktionen.
Du hast 2 Funktionen. Du suchst aber nicht die Nullstellen dieser Funktionen, sondern einen Schnittpunkt. Mit dem Newtonverfahren kann näherungsweise eine Nullstelle einer Funktion \(f(x)\) bestimmen. Das bedeutet, es wird ein Wert für \(x=b\) gesucht, für den gilt$$f(b) = 0$$Der Schnittpunkt zweier Funktionen zeichnet sich dadurch aus, dass beide Funktionen an einer Stelle - hier \(b\) - den gleichen Funktionswert haben. Also hier gilt$$y_1(b) = y_2(b)$$ und das \(b\) ist gesucht. In dem konkrete Fall ist$$y_1(x) = 0,5x \\ y_2(x) = 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$D.h. es ist ein Wert für \(x=b\) gesucht, für den gilt$$0,5 b = 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right), \quad b=\,?$$Das formt man nun so um, dass auf einer Seite eine 0 steht, und ersetzt das \(b\) vorläufig durch ein \(x\) z.B.$$\begin{aligned}0,5 b &= 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right) &&|\, - 0,5b \\ 0 &= 3 \sin\left(\frac{b}{2}\right) - 0,5b \\ f(x) &= 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 0,5x\end{aligned}$$Jetzt haben wir eine Funktion \(f(x)\) vorliegen, und wir wissen, wenn wir einen Wert für \(x\) finden, für den \(f(x)=0\) ist (oder fast ist), dann haben wir den Wert für \(b\) gefunden. Dazu braucht man noch die Ableitung von \(f(x)\):$$\begin{aligned} f(x) &= 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - 0,5x \\ f'(x) &= \frac{3}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 0,5\end{aligned}$$Und lt. Aufgabenstellung soll man bei \(x_1 = 4,5\) starten. Dazu macht man sich eine kleine Tabelle:$$\begin{array}{c|ccc}n& x_n& f(x_n)& f’(x_n)\\\hline 1& 4,5& 0,084220& -1,442260\\ 2& 4,558394& -0,000987& -1,475930\\ 3& 4,557725& -1,27374E-07& -1,475549\\ 4& 4,557725& 0& -1,475549\end{array}$$berechnet für das \(x_n\) die Werte der Funktion \(f(x_n)\) und der Ableitung \(f'(x_n)\) und das \(x_{n+1}\) der nächsten Zeile nach der Formel $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$und Du siehst, dass nach vier Schritten ein Wert heraus kommt, für den \(f(x_4)=0\) ist$$b \approx 4,557725$$überprüfe dies, indem Du den Wert in beide Funktionen \(y_1\) und \(y_2\) einsetzt.
ich habe Dir das ganze hier noch mal dargestellt
der rote Graph ist der Graph der Funktion \(f(x)=y_2(x)-y_1(x)\). Und da die Funktion \(f(x)\) die Differenz der beiden ursprünglichen Funktionen \(y_1\) und \(y_2\) beschreibt, liegt die Nullstelle von \(f(x)\) genau beim gesuchten Wert \(b\).
Gruß Werner