Lösen Sie die Gleichung numerisch mittels zweier Iterationsschritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch

\( f(x, y)=\left[\begin{array}{c} y^{2}-1 \\ x+y-2 \end{array}\right] \text { für alle }(x, y) \in \mathbb{R}^{2} . \)

Lösen Sie die Gleichung \( f(x, y)=(0,0)^{\top} \) numerisch mittels zweier Iterationsschritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,2) \).

Answer 1

Hallo :-)

Du musst zunächst die Jacobi-Matrix \(J_f\) von \(f\) bestimmen:

$$ J_f((x,y))=\begin{pmatrix}0&2y\\1&1\end{pmatrix}\in \R^{2,2} $$

Und dann kannst du schon loslegen:

Startvektor: \(v_0=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\)

Iterationen: Für \(k=0,1,...\) bis Abbruchkriterium (kann man sich beliebig festlegen; hier: nur zwei Iterationen) erfüllt ist mache:

1.) Löse das LGS \(J_f(v_k)\cdot d_k=-f(v_k) \).

2.) Setze \(v_{k+1}=v_k+d_k\).

Du kannst natürlich auch 1.) und 2.) zu einem Schritt zusammenfassen, indem du die Inverse von \(J_f\) bestimmst. Dann hast du nämlich \(v_{k+1}=v_k-(J_f(v_k))^{-1}\cdot f(v_k)\). Der Vorteil ist, dass du nicht in jeder Iteration ein LGS lösen musst. Das ist insbesondere bei so kleinen Gleichungssystemen ganz nützlich. Bei sehr großen Gleichungssystemen ist das keine gute Idee, weil es da sehr auffällig aufwendig wird, die Inverse von \(J_f\) explizit zu berechnen; in etwa kubischer Aufwand zur Matrixgröße. Und da greift man lieber auf das lösen des LGS pro Iteration zurück.

Answer 2

Weil man ungern die Inverse berechnet, auch ein Verfahren über eine lineare Gleichung

\( \vec f(\vec x)=\vec b \to \vec f(\vec x_i+\vec x)\approx\vec f(\vec x_i)+J_{\vec f}(\vec x_i)\cdot(\vec x-\vec x_i) =b\)

\(\small J_{\vec{f}}(x, y) \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&2 \; y\\1&1\\\end{array}\right), b \, :=  \, \left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right), X_n \, :=  \, \left(\begin{array}{r}0\\2\\\end{array}\right)\)

macht

\( \left(\begin{array}{r}3\\0\\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr}0&4\\1&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x\\y - 2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\0\\\end{array}\right)  \)

mit

\( X_{n+1} \, :=  \, \left(\begin{array}{r}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\\\end{array}\right)\)

copy to X_n, repeat

oder

https://www.geogebra.org/m/ak9yd6yn

unten auf der Seite für R²