Faktorisierung a^2 = 2 + a

Question

kann mir jemand sagen wie ich von:

a^2 = 2 + a

zu

(a + 1)(a - 2) = 0

komme?

Ich forme gerade so um:

a^2 - a - 2 = 0
a(a - 1) - 2 = 0

Aber ab hier habe ich Schwierigkeiten die naechste Umformung zu erkennen... gibt es da einen kleinen Trick ohne das ich nun alle Moeglichkeiten ausrechnen muss (um sicher zu gehen das es stimmt).

(a + 1)(a - 2)

Answer 1

Es gibt mehrere Möglichkeiten

- Satz des Vieta
https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta

- quadratische Ergänzung
- pq-Formel

Answer 2

Wenn du Vieta anwenden möchtest (Link vgl. Antwort von georgborn).

a² = 2 + a

Schreibe erst mal

a^2 - a - 2 = 0 und jetzt machst du den Ansatz

( a .........)(a ........) = 0         . Weil 2 = 2*1

(a ....1)(a.....2) = 0          . Jetzt noch + und - richtig verteilen, damit (-a) rauskommt

(a + 1)( a- 2) = 0       wie gewollt.

Answer 3

Hi,
Alternative:
Du kannst die Nullstellen Deiner Gleichung bestimmen und diese dann in Linearfaktoren aufschreiben. So ist

a^2 = 2+a     |-a-2
a^2-a-2 = 0  |pq-Formel mit p = -1 und q = -2
a_(1) = -1 und a_2 = 2

Damit lässt sich nun das ganze auch schreiben als
(a+1) * (a-2) = 0

Denn mach die Probe: Die Lösungen in die unterste Umformung eingesetzt und je wird ein Faktor 0, also das Produkt insgesamt 0 --> Die Gleichung ist erfüllt.

Grüße