Permutation - Produkt elementfremder Zyklen

Question

Sei n ∈ ℕ, α ∈ S_n , geschrieben als Produkt elementfremder Zyklen wie folgt:

α = (α_1,1,...,α_1,l1) .... (α_r,1,...,α_r,lr).

Sei β ∈ S_n. Zeigen Sie: βαβ^-1 lässt sich wie folgt als Produkt elementfremder Zyklen schreiben:

βαβ^-1= (β(a_1,1),...,β(a_1,l1))...(β(α_r,1),...,β(a_r,lr)).

Beispiel: Ist α=(1,2,3)(4,5) ∈ S₅ und β=(1)(2,4)(3,5) ∈ S₅, dann ist βαβ^-1 = (β(1), β(2), β(3)) (β(4), β(5)) = (1,4,5)(2,3).

Das Beispiel hab ich verstanden, allerdings weiß ich nicht, wie das in der allgemeinen Schreibweise gezeigt werden kann. β^-1 hängt doch konkret von den Zahlen der Zyklen von β ab?

Comments

ist

(β(α_r,1),...,β(a_r,lr))^{-1}

nicht einfach

(β(α_r,ir),...,β(a_r,1))

?