Berechnen Sie die Ordnung Ord((123)(56)) in S6. Finden Sie ein Element der Ordnung 30 in S11.

Question

(a) Berechnen Sie Ord( \( (123) \circ(56)) \) in \( S_{6} \).

(b) Berechnen Sie Ord( \( (1234) \circ(56)) \) in \( S_{6} \).

(c) Finden Sie in \( S_{11} \) ein Element der Ordnung 30 und geben Sie das Signum dieses Elementes an.

Comments

Kontrolliere noch mit den Definitionen in deinen Unterlagen.

Berechnen Sie die Ordnung Ord((123)(56)) in S6.

Das sind 2 unabhängige Zyklen der Länge 2 und 3. Das KGV von 2 und 3 ist 6.

Deshalb ist ((123)(56))^6 erstmals = Identität. Die Ordnung von ((123)(56)) könnte deshalb 6 sein.

Answer 1

 

Kontrolliere noch mit den Definitionen in deinen Unterlagen.

Berechnen Sie die Ordnung Ord((123)(56)) in S6.

Das sind 2 unabhängige Zyklen der Länge 2 und 3. Das KGV von 2 und 3 ist 6.

Deshalb ist ((123)(56))^6 erstmals = Identität. Die Ordnung von ((123)(56)) könnte deshalb 6 sein.

Ord((1234)(56)) in S6.

Das sind 2 unabhängige Zyklen der Länge 2 und 4. Das KGV von 2 und 4 ist 4.

Deshalb ist ((1234)(56))^4 erstmals = Identität. Die Ordnung von ((1234)(56)) könnte deshalb 4 sein.

Finden Sie ein Element der Ordnung 30 in S11.

30=2*15=3*10=5*6 Beim letzten Produkt ist die Summe der Faktoren 11. Deshalb nehme ich 2 Zyklen der Länge 5 und 6.

((12345)(6 7 8 9 10 11))

Wie gesagt: Kontrolliere noch mit den Definitionen in deinen Unterlagen.

Comments

Bearbeite auch gerade die Aufgabe...

Bei der c muss doch dann eig für die Ordnung 30 eine 5er und 6er Permutation genommen werden.

Und Signum wäre dann -1^9=-1.

Richtig so?

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Danke. Wenn die Ordnung 30 sein soll. mE ja. Irgendwie kam ich da auf 40. Ich korrigiere das noch. Das  Signum ist gemäss Angaben zu Zyklen bei https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichen_(Permutation)

mit 4+5=9 zu berechnen, also wie du geschrieben hast: ungerade.

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Hi, könnte jemand mal erkären woher die Zusammenhänge "Summe der Faktoren" und KGV stammen? Ist zwar schön und gut, dass es funktioniert, aber ich finde nirgends eine einfache Herleitung dieser Regeln.

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Es ist gut möglich, dass das oben nicht stimmt. Wie oben erwähnt, hatte ich die Definitionen nicht nachgeprüft.

Wenn ich 2 unabhängige Zyklen der Längen 5 und 6 nehme, bewegen diese beiden Zyklen zusammen insgesamt 11 Elemente. Das ist innerhalb von S₁₁ ja möglich,

Und die Ordnung des Produkts ist 5*6 = 30, da die Ordnung sowohl ein Vielfaches von 5 als auch ein Vielfaches von  6 sein muss.

Stell dir eine Uhr vor, auf der der eine Zeiger pro Minute 360°/ 5 = 72° und der andere 360°/6 = 60° zurücklegt und überlege dir, wann beide zum ersten mal wieder auf 12 Uhr stehen, wenn sie beide bei 12 Uhr begonnen haben.