Aufgabe:
Eine Funktionenschar \( f_{a} \) ist durch ihre Gleichung \( f_{a}(x)=-\frac{1}{2 a^{2}} x^{4}+\frac{1}{a} x^{3}, a \in R^{+} \)gegeben. Die zugehörigen Kurven seien \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \).
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) mit den Koordinatenachsen sowie die Art und Lage der Extrem- und Wendepunkte von \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \).
b) Zeichnen Sie \( \mathrm{G}_{2} \) im Intervall \( \mathrm{x} \in[-2 \mid 4] \) in ein kartesisches Koordinatensystem.
c) Die Normale von \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) im vom Ursprung verschiedenen Wendepunkt \( \mathrm{W} \) schneidet die x-Achse im Punkt P. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW in Abhängigkeit von a. \( (\mathrm{O}= \) Koordinatenursprung)
Für welche Belegung von a beträgt \( \mathrm{A}=37 \frac{1}{8} F E \) ?
(Die Normale \( \mathrm{n} \) an den Graphen von \( \mathrm{f} \) in einem Punkt \( \mathrm{P}_{0}\left(\mathrm{x}_{0} \mid \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)\right. \) ) ist die zur Tangente \( \mathrm{t} \) im Punkt \( \mathrm{P}_{0} \) senkrechte Gerade. Ihr Anstieg ist der negative Kehrwert des Tangentenanstiegs: \( \left.m_{n}=-\frac{1}{m_{t}}=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\right. \)).
