Finden Sie alle Primzahlen p, für die es keine natürliche Zahl n gibt, sodass p=√{6n+1}

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Primzahlen \( p \), für die es keine natürliche Zahl \( n \) gibt, sodass \( p=\sqrt{6 n+1} \) gilt. Begründen Sie Ihre Antwort.

Ansatz/Problem:

Durch einsetzen einiger Zahlen bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass die gesuchten Primzahlen 2 und 3 sind. Nun bin ich mir jedoch nicht sicher, ob dies alle sind und wie ich es beweisen kann, dass es nur diese beiden Primzahlen sind.

Answer 1

p = √(6·n + 1)

n = (p^2 - 1)/6 = (p + 1)*(p - 1)/6

Nun ist eigentlich die Frage wann ist der rechte Ausdruck nicht durch 6 teilbar.

p = 2 --> Dann sind p+1 und p-1 ungerade und damit nicht durch 2 teilbar

p = 3 --> Dann sind p+1 und p-1 nicht durch 3 teilbar.

Alle anderen Primzahlen sind nicht durch 2 teilbar und damit p-1 und p+1 durch 2 teilbar. Weiterhin ist p nicht durch 3 teilbar und somit ist entweder p-1 oder p+1 durch 3 teilbar.

Deiner Antwort ist also richtig. Nur die Begründung fehlte.