Finden Sie alle Primzahlen der Form n^5 + 4n − 35

Question

Ich versuche nun schon seit mehreren Stunden diese Aufgabe hier zu lösen, jedoch fällt mir einfach kein Ansatz ein. Wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte.

1)Finden Sie alle natürlichen Zahlen n ≥ 2, für die n⁵ + 4n − 35 eine Primzahl ist.

Begründen Sie jeweils Ihre Antworten.

Answer 1

Hi, die Frage wurde neulich schon in ähnlicher Form gestellt.

Der Hinweis auf den kleinen Satz von Fermat wurde schon gegeben. Am letzten Montag jährte sich sein Todestag, vgl. den Beitrag Pierre de Fermat - seiner Zeit voraus beim Deutschlandfunk. Allerdings geht es auch ohne Fermat recht elementar, denn es gilt
$$ n^5+4n-35 \equiv \ldots \equiv \left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \equiv 0 \mod 5 $$

Comments

Was passiert beim "..." ?

Answer 2

\( n^5+4n-35 \equiv n+4n \equiv 0 \mod 5 \) nach dem kleinen Fermat.

Also ist ergibt sich nur im Fall n=2 eine Primzahl.