zu zeigen: Für jedes k∈ℕ gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, ..., n+k alle keine Primzahlen sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für jedes k∈ℕ gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, ..., n+k alle keine Primzahlen sind.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich denke, dass es eigentlich nicht zu schwer sein sollte, aber irgendwie stehe ich hier auf dem Schlauch und habe bisher leider auch keine ähnliche Aufgabe gefunden.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

\(n!\) ist teilbar durch alle natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich \(n\) sind.

\(n!+1\) ist teilbar durch \(1\), weil \(n!\) durch \(1\) teilbar ist.

\(n!+2\) ist teilbar durch \(2\), weil \(n!\) durch \(2\) teilbar ist.

\(n!+3\) ist teilbar durch \(3\), weil \(n!\) durch \(3\) teilbar ist.

...

\(n!+n\) ist teilbar durch \(n\), weil \(n!\) durch \(n\) teilbar ist.

Comments

Sowas ähnliches hatte ich auch schon, war mir dann aber unsicher, weil in der Aufgabenstellung keine Fakultät vorkommt. Also kann ich das echt so leicht lösen?

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Also kann ich das echt so leicht lösen?

Kommt darauf an, was du mit "so leicht" meinst

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Warum genau kann man hier die Fakultät hinzuziehen?

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Weil \(n\) eine natürliche Zahl ist und somit die Fakultät von \(n\) existiert.

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n!+1 ist teilbar durch \(1\), weil \(n!\) durch \(1\) teilbar ist.

n!+1 kann auch eine Primzahl sein.

Wikipedia: Fakultätsprimzahlen

n! + 1 ist eine Primzahl für

n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209

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siehe auch https://www.mathelounge.de/844859.

Mit \(n=(k+2)!-(k+2)\) stellst Du sicher, dass auch \(n+1\) keine Primzahl ist.