Begründen Sie: Warum hat die Funktion 1,5x + sin (x) = c für jedes c genau eine Lösung?

Question

Wie kann ich das erklären? Mit der Diskriminante? LG

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Tipp: Die Funktion \(f(x)=1.5x+\sin x\) ist auf ganz \(\mathbb R\) streng monoton steigend und sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt.

Answer 1

$$f(x)=1,5x+\sin x-c$$
$$f'(x)=1,5+\cos x \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$$
Also gibt es maximal eine reelle Nullstelle. (1)
$$\left( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x), \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \right)=(-\infty , +\infty)=\mathbb{R}$$
$$0 \in \mathbb{R}$$
Also gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.  (2)
Von der Aussagen (1) und (2) folgt dass es genau eine reelle Nullstelle gibt.
Also hat die Funktion f(x) genau eine Lösung.