Für welche k hat die Gleichung ganzzahlige/genau eine Lösung?

Question

Hallo :)

ich verstehe diese Aufgabe nicht so ganz,da sind zwei Fragen.
a.) Für welche k hat die Gleichung x^2+2k+k^2=0  ganzzahlige Lösungen? 
b.) Für welche k hat die Gleichung  x^2-2kx+k=0  genau eine Lösung?
Ich bin mir nicht sicher aber bei a.) wäre das doch so wenn die Diskriminante unter der Wurzel positiv ist oder? 
Aber bei b.),ist das dann nicht so das die Diskriminante gleich 0 sein muss?  Wenn man das machen würde käme doch:  k(k/4-1)=0 raus und dann wäre k1= 0 und k2=4  Aber dann hat die Gleichung doch zwei Lösungen?  Oder muss man da anders vorgehen?

Answer 1

 $$x^2+2k+k^2=0$$
$$x^2= -2k-k^2$$
Forderung:
$$0 \le -2k-k^2$$
$$k^2 \le -2k$$
teile durch k aber aufpassen! k kann nur negativ oder Null sein !
Fall Null ist trivial - bei negativ muss das Relationszeichen gewendet werden
$$k \ge -2$$

Comments

hübschere Variante:
$$0 \le -2k-k^2$$
$$0 \le -k(2+k)$$
Fall I:  $$0 \le -k$$ $$0 \ge k$$
Fall II:
$$0 \le 2+k$$
$$-2 \le k$$
womit die Grenzen deutlich beschrieben sind.

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$$ x^2-2kx+k=0 $$
$$ x^2+px+q=0 $$
$$ p=-2k $$$$q=k$$
Diskriminante der Peh-Kuh-Formel:
$$D= \frac{p^2}4 -q$$
Vorgabe: $$D=0 $$
$$0= \frac{p^2}4 -q$$
$$q= \frac{p^2}4 $$
einsetzen:
$$k= \frac{(-2k)^2}4 $$
$$k= \frac{4k^2}4 $$
naja - der Rest is ja wohl klar ..

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Hier muss natürlich noch gefordert werden das \( k \in \mathbb{N} \) gilt, ansonsten kommen keine ganzzahligen Lösungen heraus.

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bei Teil b nicht - bei a ist  nicht viel Auswahl intervallmässig. Deine Forderung führt übrigens zur leeren Lösungsmenge! Es gibt keinen mathematischen Grund, k zusätzlich einzuschränken - die Aufgabenstellung sagt ja schon das Ziel aus.

Im Gegenteil - Deine willkürlich geschätzte Einschränkung macht die Lösung unumöglich!

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Bei Teil a der Aufgabe ist es sehr wohl notwendig die Einschränkung für k auf die natürlichen Zahlen zu fordern, den sonst gibt es auch nicht ganzzahlige Lösungen, wie man leicht nachrechnen kann. Z.B für \( k=-\frac{3}{2} \) ergeben sich die Lösungen \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) und \( -\frac{\sqrt{3}}{2}  \) und die sind sicherlich nicht ganzzahlig.

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Das ist schon klar, aber du ziehst den Gaul von hinten auf. Es ist doch unmöglich, einem Parameter willkürlich zu befehlen, Element aus den natürlichen zahlen zu sein, weil man nach dessen einsetzen in eine (noch nicht durchgängig geklärte) Funktion aus dieser Funktion ganzzahlige Werte erwartet.

Das ist eine Einschränkung der Definitionsmenge ohne jegliche mathematische Begründung.

Du fordest aus dem Bauch raus für k natürliche Zahlen

Die Lösung für den Aufgabenteil a) ist k=-1

Zu blöd, dass Deine willkürliche Einschränkung der Definitionsmenge nun für eine leere Lösungsmenge sorgt ...

merkst du langsam, was ich meine ?

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Pleindespoir, ich weiß es ist spät und so schreibt man jemanden im forum nicht aber hätten sie eventuell noch zeit mir bei der aufgabe zuhelfen den keiner im forum war in der lage. https://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

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Also die Frage ist doch für welche k die gesuchten Lösungen x ganzzahlig sind. Die Lösungen für x ergeben sich durch Wurzelziehen. Aber diese Lösungen sind ja nicht für jedes \( k \) zwangsläufig ganzzahlig. Es ergibt sich zwar eine Einschränkung für k, nämlich \( -2 \le k \le 0 \). Aber für alle Zahlen aus diesem Intervall sind die Lösungen nicht ganzzahlig. Wo ich mich vertan habe, es ist keine Einschränkung auf \( \mathbb{N} \) sondern eine Einschränkung auf \( \mathbb{Z} \) für \( k \) zu fordern. In Deiner Ableitung ist aber nur der gesamte Bereich \( [-2 , 0 ] \) für \( k \) angegeben und fällt z.B. auch mein Gegenbeispiel rein.

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Ihr würdet beide die richtige Lösung erkennen, wenn ihr endlich mal die pq-Formel anwenden würdet.

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Gehts etwas weniger kryptischer? Dann zeig doch mal wie mit der pq-Formel ganzzahlige Lösungen hergeleitet werden können.

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  zitat ullim: Aber für alle Zahlen aus diesem Intervall sind die Lösungen nicht ganzzahlig.

probiere mal k= -1

für x ist 1 oder -1 keine ganze Zahl?

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Aus   k² + 2k + x²  =  0   folgt mit der pq-Formel   k = -1 ± √ (1 - x²) .  Reelle Lösungen k gibt es nur für  x² ≤ 1  und unter diesen x-Werten sind genau die drei  x₁ = -1 , x₂ = 0  und  x₃ = 1   ganzzahlig.  Die möglichen k-Werte sind daher  k = 0, k = -1  und  k = -2

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gelöscht - du löst nach und nicht nach x auf - daher Kommentar gegenstandslos.

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zwischen nach und und fehlt noch ein k

verwirrend jedenfalls nach k aufzulösen und dann von x-Werten zu erzählen!

Aber es war janicht die Lösung das Problem, sondern ullims willkürliche Einschränkung der Definitionsmenge vor dem Lösungsverfahren.