Zeige, dass die Gleichung a^2 + 91b = 5 keine ganzzahlige Lösung hat.

Question

Aufgabe:

Hey habe Problem bei folgender Aufgabe...

Ich soll zeigen, dass die Gleichung \( a^{2} \) + 91b = 5 keine ganzzahlige Lösung hat.

Mein Ansatz:

Ich habe angenommen es gibt eine ganzzahlige Lösung und versucht das zu einem Widerspruch zu führen.

1.Fall b=0: Dann folgt \( a^{2} \) = 5 , daher kann a nicht ganzzahlig sein

2.Fall: b>0: Dann folgt \( a^{2} \) = 5 - 91b < 0 , da b>0 und ganzzahlig und \( a^{2} \) kann nicht kleiner 0 sein.

Beim 3.Fall mit b<0 komm ich leider nicht weiter...

Kann mir jemand helfen? Und falls mein Ansatz falsch ist, mir vielleicht zeigen, wie man es zeigen kann.

Danke

Answer 1

Betrachte die Gleichung modulo 7. Es ist dann a² ≡ 5 mod 7. Zeige, dass Quadrate modulo 7 immer 0, 1, 2 oder 4 sind. Daher kann es keine ganzzahlige Lösung geben.