Absolute Konvergenz der Reihe Σ 2^{(-1)^n -n} zeigen

Question

Absolute Konvergenz der Reihe zeigen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} 2^{(-1)^{n}-n} \)

Answer 1

schreib dir doch die ersten Summanden für n=1, 2, 3, 4 ,5 ...mal ausführlich auf:
2^{-2} + 2^{-1} + 2^{-4} + 2^{-3} + 2^{-6} + 2^{-5} + ....
und dann siehst du, dass man es in 2 konvergente Reihen aufteilen kann:
2^{-2}  + 2^{-4} + + 2^{-6}  + ....    und bzw: Reihe über  2 ^-2n  
2^{-1} +  2^{-3}  + 2^{-5} + ....      bzw: Reihe über  2 ^-2n+1  

und dann vielleicht so:
(  1/4)^1 + (1/4)^2 + (1/4)^3    also Summanden    (1/4)^n
und die zweite  Reihe ist genau 2 mal die erste.

Also ist das Ganze 3* die geom. Reihe mit q=1/4 , also konvergent.