Ist die Reihe absolute Konvergenz?

Question

Aufgabe: Ist die Reihe absolute Konvergenz?

Problem/Ansatz:

∑((-1)^(k-1).(√((k^2)-1) - k)

Ps. Die Potenzreihe fängt von k=1 an und geht bis infinity.

Comments

Soll das \(\frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k^2-1}-k}\) lauten?

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Danke für die Antwort aber die frage lautet: sum k = 1 to ∞ ((- 1) ^ (k - 1) * (sqrt(k ^ 2 - 1) - k)).

Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir die Lösung erklären können. Wenn es nicht zu viel Arbeit für Sie ist :)

Answer 1

Es gilt:$$\sqrt{k^2-1}-k=(\sqrt{k^2-1}-k)\cdot 1=(\sqrt{k^2-1}-k)\cdot \frac{\sqrt{k^2-1}+k}{\sqrt{k^2-1}+k}=-\frac{1}{\sqrt{k^2-1}+k}$$ Also:$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{\sqrt{k^2-1}+k}$$ konvergiert, da \(a_k=(-1)^{k}\frac{1}{\sqrt{k^2-1}+k}\) eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Folge qua Leibniz-Kriterium.

Absolut konvergent wäre die Frage, ob \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2-1}+k}\) konvergiert- stimmt das?

Comments

Vielen lieben Dank

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Ist die Reihe aber darum absolut konvergent?

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Ach Entschuldigung ich habe Ihre Frage nicht gesehen. also in der Frage steht so: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf absolute Konvergenz

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Ja, es ist zwar so, dass \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k\) konvergiert. Absolute Konvergenz fragt aber, ob \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}|a_k|\) konvergiert. Kannst du mit der Form \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^2-1}+k}\) etwas anfangen?

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ich verstehe leider nicht ganz... Die Frage wurde einfach so gestellt.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left((-1)^{k-1}\left(\sqrt{k^{2}-1}-k\right)\right) \)

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Verstehst du die Umformungen oben? (Zweite Zeile)