Beweisen Sie die absolute Konvergenz der Reihe

Question

Weisen Sie die absolute Konvergenz der Reihe nach

 

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Tipp: Für alle \(k>1\) gilt \(\left\vert(-1)^k\cdot\dfrac1k\cdot\left(\dfrac13+\dfrac1k\right)^{\!k}\right\vert<\left(\dfrac13+\dfrac12\right)^{\!k}=\left(\dfrac56\right)^{\!k}\).

Answer 1

Hi,

es gilt:

$$\sum_{k=1}^{\infty} |(-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot (\frac{1}{3}+\frac{1}{k})^k |\\ = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cdot \left( \frac{k+1}{3k} \right)^k  \\  = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{3^k} \left( 1+\frac{1}{k} \right)^k  $$

Welche Abschätzung können wir nun vornehmen?

Comments

Hi ,

ich weiss dass   ist

Die Abschätzung nach oben also, dass man eine Folge sucht, die stets größer ist, als die vorliegende Folge?

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Verstehe leider nicht was du meinst.

Wie habt ihr denn die Zahl e definiert? Schau dir das mal an, dann weißt du, was du tun musst :)

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e es nicht gegeben

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Ihr habt aber e definiert oder? Die Eulersche Zahl.

Die brauchst du beispielsweise für die Exponentialfunktion f(x)=e^x.