Absolute Konvergenz einer Reihe nachweisen

Question

Aufgabe:

Die Reihe

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n²+n+1}{(n+1)!}} \)  soll absolut konvergent sein.

Wie kann ich die absolute Konvergenz nachweisen und deren Wert bestimmen?

Ich habe leider gar keine Ahnung.

Als Tipp wurde uns mitgegeben: \( \frac{k²+k+1}{(k+1)!} \) = \( \frac{1}{(k-1)!} \) + \( \frac{1}{(k+1)!} \) und man soll die eulersche Zahl e verwenden. Nur leider hilft mir das überhaupt nicht weiter.

Vielen Dank im Voraus für Hilfe!

Answer 1

$$\quad\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+n+1}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{(n-1)!}+\frac1{(n+1)!}\right)$$$$=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n-1)!}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+1)!}$$$$=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}+\sum_{n=2}^\infty\frac1{n!}$$$$=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}+\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}-\left(\frac1{0!}+\frac1{1!}\right)$$$$=2\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}-2$$$$=2\mathrm e-2.$$

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Vielen Dank!