Aloha :)
zu a) Hier hilft das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}}{\frac{(k!)^2}{(2k)!}}=\frac{((k+1)!)^2}{(2(k+1))!}\cdot\frac{(2k)!}{(k!)^2}=\frac{(k+1)!}{k!}\cdot\frac{(k+1)!}{k!}\cdot\frac{(2k)!}{(2k+2)!}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{k!\cdot(k+1)}{k!}\cdot\frac{k!\cdot(k+1)}{k!}\cdot\frac{(2k)!}{(2k)!\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)}=\frac{(k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+2)}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac{\left(1+\frac1k\right)\left(1+\frac1k\right)}{\left(2+\frac1k\right)\left(2+\frac2k\right)}\to\frac{1}{4}<1$$Daher konvergiert die Reihe absolut.
zu b) Hier musst du wegen des Leibnitz-Kriteriums nur zeigen, dass die Folge der Summanden ohne den Faktor \((-1)^k\) eine monoton fallende Nullfolge ist:$$a_k=\frac{\sqrt k}{k+1}<\frac{\sqrt k}{k}=\frac{1}{\sqrt k}\to0$$Die Reihe ist daher konvergent.
