Absolute Konvergenz bei Reihen

Question

Hallo ich soll zeigen, dass die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^n}{4^n*n!}}$ absolut konvergent ist. Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht.

$\frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1}*(n+1)!}$ $\frac{4^n*n!}{n^n}$ = $\frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1}*(n+1)}$ $\frac{4^n}{n^n}$ = $\frac{(n+1)^{n}}{4^{n+1}}$ $\frac{4^n}{n^n}$ = $\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}$ $\frac{4^n}{4^{n+1}}$

Jetzt stellt sich mir dir Frage wie ich zeigen kann, dass der Grenzwert für $\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}$ $\frac{4^n}{4^{n+1}}$ kleiner als 1 ist. Oder habe ich davor schon irgendwas falsch gemacht bei der Umformung?

Answer 1

Aloha :)

Deine Rechnung ist richtig. Du musst nur noch einen kleinen Schritt weiter gehen:$$\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot\frac{4^n}{4^{n+1}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot\frac{1}{4}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\frac{1}{4}\to e\cdot\frac{1}{4}=\frac{e}{4}<1$$