Aufgabe 1:
1. Berechnen Sie die Taylorpolynome \( t_{4} \) und \( t_{8} \) für die Funktion \( \sin (x) \) an der Entwicklungsstelle \( x_{0}= \) 0. Versuchen Sie \( t_{100} \) für diese Entwicklungsstelle mit Hilfe eines Summenzeichens \( \sum \) aufzuschreiben.
2. Berechnen Sie die Taylorpolynome \( t_{2} \) und \( t_{3} \) für die Funktion \( \ln (x) \) an der Entwicklungsstelle \( x_{0}=1 \)
- Finden Sie im Intervall \( \left[\frac{1}{2}, 2\right] \) die Stelle, an der die Differenz der Funktionen \( \ln (x) \) und \( t_{2}(x) \) am größten ist.
- Berechnen Sie \( t_{2}(4) \) und \( t_{3}(4) \). Was können Sie daraus (uberraschender Weise) über die Gute der Approximation von \( \ln (x) \) durch diese Taylorpolynome sagen?
Aufgabe 2:
Es sei \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & x \geq 0 \\ \cos (x), & x<0\end{array}\right. \)
1. Prüfen Sie, ob \( f \) stetig, differenzierbar und zweimal differenzierbar ist.
2. Finden Sie alle lokalen Extremstellen von \( f \).
Aufgabe 4:
1. Sei \( f(x)=x^{16}+x^{8}+2 x^{5}+2 . \) Geben Sie \( t_{20} \) von \( f \) für die Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \) an.
2. Geben Sie ein Beispiel für eine nicht stückweise stetige Funktion.
3. Richtig oder falsch? Sei \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) 3 mal differenzierbar, und es gelte \( f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right)=0 . \) Dann ist \( x_{0} \) keine Wendestelle. (Begründung)
4. Geben Sie ein Beispiel für eine konkave Funktion.
