Aufgaben zur analytischen Geometrie:
Gegeben sind die Ebene E: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{r}4 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) und die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5 \\ -4,5 \\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}7 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) \)
a) Geben Sie eine Normalengleichung der Ebene E an.
b) Prüfen Sie, ob die Punkte \( \mathrm{P}(3|0| 2) \) und \( \mathrm{Q}(5|-1| 4) \) in E liegen.
c) Welchen Winkel schließen die beiden Richtungsvektoren der Ebene E ein?
d) Bestimmen Sie die Punkte \( X, Y \) und \( Z \), in denen die Ebene \( E \) von den Koordinatenachsen durchstoßen wird. Diese bilden mit dem Koordinatenursprung eine Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. Zeichnen Sie ein Schrägbild.
e) Zeigen Sie, dass sich E und g schneiden. Berechnen Sie den Schnittpunkt. Liegt der Schnittpunkt im Dreieck \( \mathrm{XYZ} \) aus d)? Berechnen Sie den Schnittwinkel von \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{E} \).
f) Bestimmen Sie die Gleichung der Spurgeraden von \( E \) in der \( x-y \)-Ebene.
