Normalengleichung, Punkte, Punktprobe

Question

ich hab ein kleines Problem bei einer Aufgabe:

Gegeben ist die

Ebene L: [\( \vec{x} \)-\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)] * \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) = 0.

b) Wie muss c gewählt werden, damit der Punkt P(c|c+3|3) in der Ebene L liegt? Berechne.

Wie würdet ihr das berechnen bzw. wie gehe ich hier vor?

Vielen Dank! :)

Answer 1

Aloha :)

Du könntest die Normalengleichung zunächst vereinfachen:

$$0=\left[\vec x-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$$$\phantom{0}=x-y+2z-(2-1+2)=x-2y+2z-3$$Damit haben wir eine Koordinaten-Gleichung für die Ebene:$$x-y+2z=3$$Nun kannst du die Koordinaten von \(P\) einsetzen:$$3\stackrel!=\underbrace{c}_{=x}\;-\;\underbrace{(c+3)}_{=y}+2\cdot\underbrace{3}_{=z}=3\quad\checkmark$$Du stellst fest, dass \(c\) auf der rechten Seite rausfällt und eine wahre Gleichung \(3=3\) entsteht. Das heißt, für alle \(c\in\mathbb R\) liegt der Punkt \(P\) in der Ebene.

Comments

Ok, habs verstanden, vielen Dank! :)