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Ableitung von \( f(x)=\frac{3}{4} x^{4}-x^{3}-3 x^{2} \)


Ansatz/Problem:

\( f(x)=\frac{3}{4} x^{4}-x^{3}-3 x^{2} \\ f^{\prime}(x)=\frac{12}{4} x^{3}-3 x^{2}-6 x \\ 0 = 3x^{3}-3 x^{2}-6 x \\ 0 = x^{2}\left(3 x^{2}-3 x-6 x\right) \)

Wo liegt mein Fehler?

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4 Antworten

+1 Daumen

Hi,

Du hast falsch ausgeklammert.

Richtig:

f'(x) = 3x^3-3x^2-6x

f'(x) = 3x·(x^2-x-2)

(Habe praktischerweise die 3 gleich mit rausgezogen...erlaubt direkte Anwendung der pq-Formel)

Du kommst nun selbst weiter?


Zur Kontrolle die Lösungen: x_{1} = 0, x_{2} = -1 und x_{3} = 2


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Du hast falsch ausgeklammert.

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Ersteinmal vielen dank,nur woher weiss ich dann ob es ein hoch oder tiefpunkt ist?

Indem du die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzt und dann guckst, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.

Irgendwie bin ich nun verwirrt da bei zwei antworten unterschiedliche Ergebnisse sind

Du meinst die Antworten von Unknown und Emre? Da stehen doch aber bei beiden Antworten die gleichen Nullstellen der Ableitung, nämlich 0, -1 und 2.

Nur weiss ich nicht wie ich auf das Ergebnis komme, weder mit Pw noch mit der mitternachtsformel

Wie Unknown geschrieben hat, ist \(f'(x)=3x(x^2-x-2)\). Damit die Ableitung 0 wird, muss einer der Faktoren 0 werden. D.h. entweder \(3x=0\) oder \(x^2-x-2=0\). Im ersten Fall ist x=0, das ist die erste Lösung.
Für den zweiten Fall benutzt du die Mitternachtsformel. Wenn du damit nicht auf die richtige Lösung kommst, musst du hier mal deinen Lösungsweg posten.

Das ist mein Lösungsweg:

\( 3 x\left(x^{2}-x-2\right) \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{1^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-2)}}{2 \cdot 1} \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{1+8}}{2} \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{9}}{2} \)
\( -1 \pm \frac{3}{2} \)
\( x_{1}=\frac{+5}{2} \quad x_{2}=\frac{1}{2} \)

Die Mitternachtsformel lautet \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
D.h. am Anfang muss nicht -1, sondern 1 stehen, und außerdem gehört diese 1 mit auf den Bruchstrich.
Und dann kommst du auch auf die richtige Lösung.
Ok, habe jetzt die richtigen Ergebnisse herausbekommen :-)
Aber für was steht denn jetzt eigentlich das x=0? Muss ich das in die ursprüngliche Funktion einsetzten?

Bei x=0 ist die erste Ableitung 0 (genauso wie bei x=-1 und bei x=2).
Um zu überprüfen, ob dort ein Maximum oder Minimum vorliegt, setzt du diese x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Wenn du die Funktionswerte an diesen Stellen berechnen willst, musst du in die ursprüngliche Funktion einsetzen.

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Hi,

willst Du 3x3-3x2-6x=0 nach x auflösen? Dann klammere aus und nutze Satz vom Nullprodukt

x(3x2-3x-6)

x1=0

nun löse 3x2-3x-6=0 mittels pq-Formel nach x auf ;)

x2=2 und x3=-1
Avatar von 7,1 k
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Dennoch geht folgendes ausklammern auch:


0 = x(3x2 - 3x - 6)

x1 = 0 ; x2= -1 ; x3 = 2


Das gleiche Ergebnis!
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